ГЛАВА XVI. СТАЦИОНАРНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ТОКИ

§ 1. Формулировка уравнений поля и простые задачи

1. Физические законы.

Законы, которым подчиняется поле электрического тока, ведут к математическим формулировкам, почти совпадающим с формулировками задач электростатики, так что задачи обеих областей всегда могут быть сопоставлены друг с другом. Задачи, требующие более сложного математического исследования, появляются в тех случаях, когда ток идет через области, имеющие различную проводимость, причем последняя может изменяться непрерывно. В качестве примера мы рассмотрим задачи о заземлении и задачу о токе в жидкости между электродами. Мы дадим здесь решения только для стационарных (постоянных) токов, чем практически с достаточным приближением решается также и задача о переменных токах низкой частоты. При этом пренебрегают теми неоднородностями в распределении тока, которые появляются при переменных токах и зависят от индукции (например, скин-эффект).

Основные законы взяты из области явлений прохождения тока в так называемых линейных проводниках, т. е. проводов постоянного сечения, погруженных в непроводящую среду:

a) Когда к заряженному телу присоединен линейный провод, то увеличение или уменьшение полного заряда тела в единицу времени определяет электрический ток в проводе, который считается положительным в одном направлении и отрицательным в другом направлении.

b) В каждом отдельном линейном проводнике можно с помощью электростатических приборов измерить в каждой точке потенциал падение которого вдоль заданного отрезка пропорционально силе тока текущего по проводнику (закон Ома), т. е. между двумя точками 1, 2 имеет место падение напряжения:

Постоянная омическое сопротивление, пропорциональна длине проводника между точками 1, 2, обратно пропорциональна площади его поперечного сечения и зависит от материала.

c) В месте разветвления линейных проводников сумма притекающих токов равна сумме вытекающих токов (1 закон Кирхгофа).

d) В произвольно разветвленной цепи линейных проводников тоже можно в каждой точке электростатически измерить потенциал, - иначе говоря, сумма падений напряжения вдоль разветвленной цени на произвольном замкнутом пути равна нулю ( закон Кирхгофа).

Из произвольно разветвленной цепи можно посредством предельного перехода получить поле электрического тока, непрерывно распределенного в пространстве. Поэтому Максвелл распространил эти законы на поле токов следующим образом:

a) Поле токов характеризуется вектором плотности тока, составляющая которого по нормали к некоторому элементу поверхности дает ток на единицу поверхности, проходящий через этот элемент. Если есть истинный электростатический заряд, находящийся внутри замкнутой поверхности то

т. е. изменение заряда в единицу времени равно полному току, проходящему через поверхность внутрь ее (направление нормали считается наружу).

Если V означает объем, ограниченный этой поверхностью, а - объемпую плотность заряда, то

последнее преобразование сделано на основании теоремы Гаусса; следовательно, из (2) вытекает, если применить эту формулу к элементу объема, что

В случае стационарного тока отсюда следует

т. е. поле электрического тока аналогично полю потока несжимаемой жидкости.

b) В поле стационарного тока существует электростатическая потенциальная функция связанная с напряжением поля соотношением:

c) Каждый материал характеризуется постоянной с — удельным электрическим сопротивлением, т. е. сопротивлением куба, ребра которого равны единице длины.

Ее обратное значение называется проводимостью. Интегрируя по произвольному пути между двумя точками поля тока, мы получаем:

откуда следует

Последнее соотношение является дифференциальной формой закона Ома.

d) К закону надо прибавить, что на границе двух средин с различными проводимостями нормальная составляющая плотности, тока непрерывна:

Следовательно, нормальная составляющая напряжения поля терпит разрыв, определяемый соотношением

Поэтому при прохождении тока через такую пограничную поверхность на ней всегда образуется электростатический заряд с плотностью

Можно представить себе, что электростатическая потенциальная функция поля создана этим распределением заряда, которое имеется также и в том предельном случае, ксгда проводник граничит с непроводником в последнем случае нормальная составляющая однако предельное значение остается конечным.

Наоборот, в силу касательная составляющая напряжения поля непрерывна (см. гл. XV, § 1), и поэтому касательная составляющая плотности тока терпит разрыв:

Из непрерывности касательной составляющей поля и нормальной составляющей тока вытекает, как и в других подобных случаях, закон преломления для линий тока на поверхности раздела. Если означают углы линий тока в обеих средах с нормалью к поверхности раздела, то

следовательно, закон преломления:

е) Так как (по гл. XV, § 1), то из (5) и (2) следует для области с постоянной проводимостью X:

откуда вытекает

т. е. внутри однородного проводника, даже в случае нестационарного тока, заряд может находиться только при том условии, если он вначале был туда внесен. Плотность этого заряда в каждой точке проводника убывает по экспоненциальному закону. Если не принимать в расчет таких внесенных извне зарядов, то даже и в случае нестационарных токов имеем уравнение Мы получим полную электростатическую аналогию с формулированными нами основными законами поля тока, если вместо электрического тока будем рассматривать диэлектрическое смещение, иначе говоря, электростатическое поле неоднородного диэлектрика, причем вместо проводимости X - появится "диэлектрическая проводимость" Поэтому в электростатике проводник можно рассматривать также как вещество с бесконечно большой диэлектрической постоянной, в котором хотя сила поля равна нулю, но диэлектрическое смещение остается конечным, так же как, на основании формулированных выше законов, сила поля в идеальном проводнике равна нулю, но плотность тока остается конечной.