§ 3. Плоская пластинка, к которой приложены силы, расположенные в этой же плоскости

1. Функция напряжений.

Рассмотрим плоскую пластинку, т. е. цилиндрическое тело, у которого расстояние между верхним и нижним параллельными основаниями мало по сравнению с размерами этих оснований.

Пусть эта пластинка загружена силами, приложенными к ее контуру и расположенными в ее плоскости.

Систему координат мы выберем таким образом, чтобы оси х, у лежали в средней плоскости пластинки, а ось была перпендикулярна к ней.

Мы установим уравнения для средних значений напряжений, взятых по толщине пластинки, т. е. для Для этой цели заметим, что на плоскостях где не приложено никаких внешних сил, напряжения должны обращаться в нуль. Из условия равновесия

следует, что и также равно нулю на этих плоскостях. Мы поэтому будем считать, что величина о, сама, или по крайней мере ее среднее значение, равно нулю. Это предположение выполняется тем лучше, чем тоньше пластинка. Для средних значений напряжений:

обозначаемых черточками сверху, мы получаем уравнения равновесия:

интегрируя основные уравнения равновесия по от

Связь этих средних значений напряжений со средними значениями деформаций

мы получаем, интегрируя по уравнения, связывающие деформации с напряжениями, что дает

Общий интеграл уравнения (1) имеет вид:

Функция называется функцией напряжений.

Дифференциальное уравнение для мы получим, если заметим, что величины

связаны следующим соотношением ("условие совместности")

которое получается на основании возможности перемены порядка дифференцирования. Подставляя в это уравнение выражения для даваемые формулами (2) и (3), и вводя снова для сокращения обозначение получаем:

или

по

и следовательно, уравнение (5) дает нам носле сокращения на уравнение

К дифференциальному уравнению (6) следует добавить еще граничные условия, что на границе тела напряжение находится в равновесии с приложенными там внешними силами. Если обозначить через средние значения внешних сил, приложенных к границе и рассчитанных на единицу длины границы, а через направляющие косинусы нормали к границе, то для равновесия требуется, чтобы:

Выражая напряжения через функцию напряжений и замечая, что

где есть элемент длины граничного контура, его проекции на координатные оси, получаем:

Интегрируя эти равенства по I, получаем V):

Так как постоянная интегрирования не оказывает никакого влияния на значение напряжений, то интегрирование в правой части можно начинать из любой точки контура. суть компоненты главного вектора всех внешних сил, приложенных к контуру между начальной точкой интегрирования и переменной точкой

Интегрируя еще раз, получаем:

При понощи интегрирования по частях легко выяснить физический смысл есть главный момент всех внешних сил, приложенных между начальной точкой и конечной точкой интегрирования, взятый относительно пооледней.

Граничное условие (10) мы можем нанисать в еще более простом виде; обозначая через элемент длины в направлении внешней нормали, мы имеем:

и из (10) получается

Задача, к которой свелось нахождение напряжений, может быть сформулирована следующим образом: требуется определить некоторую функцию которая удовлетворяет дифференциальному уравнению

а на границе, вместе с своей нормальной производной, принимает заданные значения:

Вычисление смещений по функции напряжений.

Вычисление смещений при заданных напряжениях производится в общем случае по следующему правилу: сначала из уравнений, связывающих напряжения с деформацией, вычисляются компоненты деформаций. Дифференцируя их, мы получаем вторые производные по и двухкратным интегрированием находим сами смещения. Последние при этом определяются с точнозтью до параллельного перемещения и поворота всего тела, не вызывающего деформации. Само вычисление не представляет озобого интереса. Результат в нашем случае следующий: из следует весть, следовательно, плозкая потенциальная функция. Обозначая сопряженную с ней потенциальную функцию через

мы имеем, что есть аналитическая функция от комплексной переменной Обозначая далее через комплексный интеграл втой функция

мы получаем для смещений:

Эти смещения дают правильные значения для напряжений. Действительно, и требуют уравнения, связывающие напряжения деформациями, получается:

Постоянные интегрирования означают пареллельное перемещение всей пластинки; (которое должно считаться малой величиной) — вращение на угол -у без деформации. Для выяснения геометрического смысла функции составим вихрь вектора смещений. Отбрасывая несущественные постоянные интегрирования, получаем:

следовательно, о точностью до множителя есть вихрь вектора смещения, т. е. равно среднему повороту линейного элемента, проходящего черев данную точку.

Многосвязные области. Формулы для смещений приобретают особенное значение, если рассматриваемая область не односвязна, т. е. если мы имеем пластинку с отверстиями. В граничные условия для и входят три произвольных постоянных интегрирования. Для односвязной области эта неопределенность не ущественна: различные решения, соответствующие различному выбору этих постоянных, отличаются друг от друга на некоторую линейную функцию от х и у, которая пропадает при дифференцировании, производимом для определения напряжений. Но если мы имеем дело с многосвязной областью, то для каждой границы имеются три неопределенных постоянных, причем них всех только три могут быть выбраны произвольно. Остальные определяются из условий, что не только напряжения, но и смещения должны быть однозначными функциями от

Для этого, во-первых, требуется, чтобы средний поворот линейного элемента (т. е. функция ) был однозначен. Эта функция определяется формулой:

Так как при обходе вокруг отверстия в пластинке функция должна возвращаться к своему начальному значению, то интеграл по замкнутому контуру, окружающему отверстие:

Во-вторых, требуется еще однозначность функций и Для этого выражения

при обходе вокруг отверстия должны возвращаться к своим исходным значениям. Функции определяются формулами:

Если условиться обходить границу в таком направлении, чтобы внешняя нормаль была обращена вправо по отношению к направлению обхода, то, как было показано выше, приращения величин между двумя точками границы равны суммам проекций внешних сил, приложенных между этими точкаме, на оси х в у.

Значит, при обходе вокруг отверстия увеличиваются соответственно на через обозначены суммы проекций внешних сил, приложенных к границе отведсхия на оси х и у. Так как должны возвращаться после обхода вокруг отверстия к своим первоначальным значениям, то должны увеличиться на такие же величины, как и значит мы должны иметь:

где интегралы взяты вдоль всей границы отверстия в указанном выше направлении.

Если в формулах (10) мы придадим постоянным интегрирования для внешней границы пластинки прозвольные значения, то постоянные интегрирования для границ отверстий внутри плаотинки определятся из условий (17) и (19).

Интегрирование, конечно, при этом значительно усложняется тем, что функция и ее первые производные уже не будут однозначными во всей области