2. Задача с однородными смещениями.

Еще большее теоретическое значение имеют те решения волнового уравнения, в которых однородными функциями нулевого порядка являются смещения.

Для того чзхюы не загромождать изложения, мы не будем здесь останавливаться на механической стороне дела, так как несколько позднее мы сумеем лучше осветить все такого рода задачи.

Переходим прямо к математическому анализу таких решений. В § 1 нами было доказано, что вектор смещения может быть разбит на сумму двух векторов: из которых один потенциальный:

а другой соленоидальный:

Вектор при отсутствии массовых сил, удовлетворяет волновому уравнению:

а вектор уравнению:

Будем искать такие решения этих уравнений, которые представляются однородными функциями нулевого порядка относительно

Во внутренности конуса (12) составляющие будут представляться формулами:

где

Мы будем предполагать далее, что вещественные части функций уничтожаются на контуре круга единичного радиуса, а сами функции имеют полюс в начале координат. Из условия (18), дифференцируя формулы (22), получим:

Выражая и с помошью формул § 1, получим:

откуда

Знаменатель этой дроби, очевидно, равен:

откуда наше условие переписывается:

Следовательно, должна уничтожиться функция комплексного переменного, стоящая под знаком

Мы получим:

Совершенно аналогично составляющие вектора выражаются с помощью формул:

где

функции мы будем предполагать имеющими вещественную часть равную нулю на контуре круга единичного радиуса и имеющими полюса при