3. Вычисление координат положения.

Нам надо теперь от угловых переменных и переменных действия, зависимость которых от времени определяется просто формулами (25), вернуться к обычным координатам положения. Используем: обычные декартовы координаты х, у, z, связанные с пространственными полярными координатами, примененными в 1, посредством уравнений гл. II, § 2, (16). Если мы опишем около точки сферу радиуса проходящую через и рассмотрим на ней три большие круга: сечение с плоскостью ориты, с экваториальной плоскостью и меридианом, то эти окружности образуют сферический прямоугольный треугольник. Длины сторон, как видно из рис. 7, равны а углы, противолежащие обеим первым сторонам, — и В таком случае на основании основных формул сферической тригонометрии ("правил Непера"):

поэтому если положить в гл. II, § 2, (16) и разложить то

Если мы в (26) везде вставим и разложим то мы легко сможем вместо "истинной аномалии" ввести "эксцентрическую аномалию", определенную формулой (19). Действительно, из (3) и (19) для прямоугольных плоских координат нашей материальной точки относительно главных осей эллиптической орбиты, принятых за координатные оси, получалось:

Рис. 7.

В таком случае из (26) и (27) вытекает, если в обозначениях 1 ввести долготу перигелия о помощью соотношения

Для нужно подставить выражения (27). Если а увеличивается на то на основании (20) то же имеет место для угловой переменной Следовательно, и в силу (27), являются периодическими функциями с периодом причем есть четная функция, а нечетная. Следовательно, могут быть разложены в тригонометрические ряды следующего вида:

Если мы применим к этим интегралам интегрирование но частям и полозом в результате то мы получим:

Формулы (31), (32) представляют величины как функции от которые могут быть выражены через бесселевы функции. А именно, мы имеем:

Далее, согласно (30):

Так как очевидно функции Бесселя при одновременном изменении знака аргумента и значка не меняют значения, то из (29), (33), (34) вытекает:

где в обеих суммах надо выбросить член Вставляя (35) в (28), мы получим окончательные формулы для как функций пяти постоянных орбиты и угловой переменной Аналогичным образом можно представить

также и расстояние массы от Согласно (19) и есть так же как и четная функция с периодом . Если мы положим

то совершенно аналогично (30), (31), (33), (35) получим:

Наконец, если мы хотим выразить через угловые переменные и переменные действия и получить таким образом общую форму разложения в ряд координат положения, установленную в гл. II, § 6, (7), то мы должны решить (25) относительно и вставить результаты в (28), (35), (37). Это дает:

Мы произведем действительное вычисление формул для координат положения, получающихся при подстановке (38) только для того случая, когда малы по сравнению с Это означает, что эллипсы Кеплера имеют малые Если мы применим разложения бесселевых функций в ряд:

где то окажется, что ряд для начинается с члена порядка величины Если мы хотим сохранить только члены, линейные относительно их и то мы должны дойти в только до порядка следовательно, принять во внимание только бесселевы функции В выражении (37) для вследствие наличия множителя в перед суммой достаточно даже сохранить линейные относительно в члены в функциях и положить В таком случае из (38), (37), (36) вытекает: