2. Многократно-периодические системы.

Преположим теперь, что наша невозмущенная система многократно периодична в смысле гл. § 5,. 5, § 6, 2, и каноническими переменными примененными в 1, являются угловые переменные и переменные действия, которые мы обозначим, как и в гл. II, § 5, 6 и § 6, через В таком случае гамильтонова функция возмущенной системы имеет аналогично (1) вид:

если мы предположим, что она не зависит от времени. При этом согласно гл. II, § 5, (38), есть энергия нево мутценной системы, как функция неременных действия, а есть возмущающая функция. Очевидно, мы получим подстановкой разложения величин в гл. II, § 6, (7) в Следовательно, так же, как есть периодическая функция величин с периодом которую при очень общих условиях можно разложить в Фурье. В предположении возможности этого разложения функция так же, как и имеет вид:

На основании гл. II, § 5, (40) невозмущенное движение определяется постоянными и величинами возрастающими, линейно со временем. Для возмущенного движения величины являются функциями времени, удовлетворяющими (2), т. е. в наших обозначениях:

Нулевое приближенное решение имеет, аналогично (4), вид:

Оно представляет собой невозмущенное движение, которое оскулирует о возмущенным движением в момент когда его состояние определяется значениями

Первое приближение имеет аналогично (9), (5), (8) вид:

Если мы вставим значение из (15), произведем дифференцирование и вставим для значения (17), то мы получим, интегрируя по

При этом для краткости не выписан явный вид функций который легко вычисляется. Если мы кратко назовем периодическими членами все выражения вида:

и будем в дальнейшем писать сокращенно "пер. чл.", то мы сможем написать первые приближенные решений, согласно (18), (20), (21) в следующем виде:

При этом значения получаются из уравнений (20), (21). Возможно ли, чтобы среди периодических членов были такие, которые не содержат времени которые, следовательно, в действительности постоянны? Для этого должны были бы иметь место соотношения с целочисленными Но очевидно, что все не могут обращаться в нуль, так как в разложении (15) функции возмущения член не зависящий от уже вынесен из суммы, которая, следовательно, содержит лишь такие члены, в которых не все обращаются в нуль. Но на основании II, § 6, 3 целочисленное линейное однородное соотношение между величинами с коэффициентами которые не все обращаются в нуль, может иметь место только в том случае, когда невозмущенная система вырождена. Мы же теперь предположим, что невозмущенная система действительно в точности -кратно периодическая, следовательно, невырождена, тогда все периодические члены действительно содержат время. В таком случае, согласно гл. II, § 7, 3 эти члены, хотя и не имеют точного периода, но все же имеют приближенный. Легко показать, что среднее значение этих членов по времени, распространенное на приближенный период невозмущенной системы, обращается в нуль с тем большим приближением, чем большее приближение к первоначальному положению требуется по истечении этого "периода". Если система физически не вырождена, то по гл. И, § 7, п. 3 период растет вместе с этой мерой точности. Рассмотрим систему такого рода с двумя степенями свободы. Пусть при этом периодический член имеет вид:

где целые числа. Вычислим приближенный период, как и в

Там он выражается равенствами:

Если мы образуем искомое среднее значение х величины х посредством интегрирования в пределах от нуля до и деления на то мы получим:

Если положить где может быть сделано сколь угодно малым, то отсюда следует:

Отсюда следует, что при уменьшении (т. е. при увеличивающейся мере точности для приближенного периода) х стремится к нулюх).

Отсюда следует, согласно (22), что при возмущенном движепии величины в среднем по времени за приближенный период невозмущенного движения имеют тот же временный ход, как и при невозмущенном движении. Только постоянные имеют несколько иные значения, отличающиеся от невозмущенных на величины порядка Это выражают также таким образом: величины испытывают в первом приближении только "периодические возмущения.

Если мы перейдем ко второму приближению, то, полагая мы получим из (12):

В силу (15) выражение содержит только члены, периодические относительно Если мы, согласно (22), вставим для выражения и разложим по степеням X, то подинтегральная функция в (23) будет содержать, кроме постоянных и периодических членов, также члены вида пер. где каждая постоянная имеет множитель Так как для интеграла от легко получается выражение то, выполняя интегрирование в (23), мы получим для выражение вида:

Следовательно, во втором приближении величины отличаются от постоянных не только на величины, которые в среднем, вычисленном за приближенный период невозмущенного периода, обращаются в нуль, но также и на члены, возрастающие со временем. Однако, эти "вековые" члены все пропорциональны первой степени и помножаются на Если мы будем продолжать приближенное вычисление, то в качестве -го приближения получим, аналогично (24), выражение, в котором коэффициент при представляется функцией от времени, содержащей кроме постоянных и периодических членов также и такие, в которых степени до включительно умножены на постоянные или на периодические члены. Так получаются чисто вековые и смешанно вековые члены. Так как величина X предполагается очень малой, то мы только в том случае говорим о вековом возмущении (т. е. о таком отклонении от невозмущенного движения, которое не уничтожается в среднем, вычисленном за "период" последнего), когда в разложении имеется член, в котором помножается по крайней мере на степень В этом смысле, сопоставляя результаты, можно сказать: при вовмущении -кратно-периодической невырожденной системы постоянные траекторий не испытытывают вековых возмущений. Угловые переменные вообще говоря, испытывают вековые возмущения постольку, поскольку в (22) под влиянием возмущения вместо частоты появляется