3. Изгиб стержня приложенными на концах его моментами.

Рассмотрим опять цилиндрический стержень и проведем ось х параллельно образующим цилиндра через центры тяжести поперечных сечений, перпендикулярных к образующим. Оси у и мы проведем так, чтобы они совпадали с главными осями инерции поперечного сечения, т. е. чтобы для сечения интеграл Мы возьмем следующие решения дифференциальных уравнений для напряжений:

и посмотрим, какие силы должны действовать на поверхности для того, чтобы были выполнены граничные условия (6), стр. 252. На боковой поверхности, где очевидно не должны действовать никакие силы. На правом конце цилиндра, где надо приложить нормальное напряжение а на левом конце цилиндра, где надо приложить нормальное напряжение Вычисляя главный вектор этих сил, приложенных к концам, мы получаем, что все три его компонента равны нулю, так как в направлении оси у и не действуют никакие силы, а главный вектор сил, действующий в направлении оси

так как центр тяжести расположен на оси х. Остается еще главный момент внешних сил. Его компоненты равны (верхние знаки берутся для правого конца, а нижние для левого):

Относительно оси

Последний интеграл равен нулю, так как оси являются главными осями инерции поперечного сечения. Остается только момент вращающий вокруг оси у, равный

где мы для сокращения положили:

Внешние силы, вызывающие это напряжение, сводятся к двум парам с одинаковыми по величине, но противоположными по направлению моментами, приложенными к концам стержня. Строго говоря, необходимо, чтобы пары эти получались из распределения сил вида (7). Однако опыт показывает, что распределение напряжений в стержне, за исключением частей в непосредственной близости к его концам, не зависит (с большой степенью приближения) от способа приложения этих пар на концах. Таким образом мы можем применять наши формулы и тогда, если условия (7) на концах выполняются не вполне точно (принцип Сен-Венана).

Если нам дан стержень, изгибаемый парами с моментами. приложенными к его концам обозначает момент пары, приложенной к правому концу), то мы можем найти распределение напряжений в поперечных сечениях. А именно, из формул (8) и (7) следует

Если приложена пара, вращающая не только вокруг оси у, то мы можем разложить ее на составляющие пары с моментами по направлениям у и . Компонент момента по направлению у дает уже вычисленное выше напряжение, а компонент по оси аналогичным образом напряжение:

которое складывается с первым.

Деформации, полученные при действии пары с моментом можно вычислить либо по общему правилу, согласно формулам стр. 239 [§ 3, (15)], или же, здесь это будет проще, непосредственно искать их в виде квадратичных функций от исходя из того соображения, что их производные — компоненты деформации — линейные функции; коэффициенты этих квадратичных функций определятся непосредственной подстановкой и сравнением коэффициентов. Таким способом получаем формулы (о точностью до смещения и поворота всего стержня без деформации):

Если стержень тонкий, т. е. размеры его поперечного сечения малы по сравнению с длиной стержня, то деформация в основном определяется смещением средней линии стержня Остальные деформации так малы, что ими обычно пренебрегают для технических приложений. Полагая в мы получаем деформацию средней линии стержня:

Из этого уравнения мы выведем геометрическое значение величины с. Величина равна второй производной прогиба по если мы пренебрежем квадратом первой производной по сравнению с единицей, то равно кривизне средней линиистержня (нейтральной оси), вызываемой нзгибающйм моментом.

В техническом учении об изгибе балок, которого мы здесь коснемся только вкратце, формулы для распределения напряжений и для связи между кривизной средней линии и изгибающим моментом, переносятся и на те случаи, в которых стержень подвержен напряжению не только от одного момента. При этом еще пренебрегают изменениями формы поперечного сечения. Простейшее обоснование

мы получай, применяя принцип возможных перемещений. Работа деформации, рассчитанная на единицу объема, равна

и, следовательно, работа деформации, рассчитанная на единицу длины стержня, есть:

или, выражая через кривизну средней линии стержня:

(индекс для прогиба средней линии мы отбрасываем). Будем теперь считать эту формулу (приближенно) справедливой во всех случаях. Положим, например, что балка подперта в начале и в конце т. е. в этих точках и что по всей своей длине она загружена распределенной нагрузкой, равной за единицу длины, действующей в направлении оси в. Вызываемый этим прогиб обозначим Изменим теперь прогиб до Тогда изменение работы деформации равно работе нагрузки т. е.

При изменении надо иметь в виду условия закрепления, т. е. что при где должно быть также и Интегрируя (13) дважды по частям, получаем:

или, принимая во внимание, что

Так как это уравнение должно выполняться для всех возможных то

и

Заменяя уравнение (15) двумя уравнениями второго порядка:

мы получаем дифференциальное уравнение теории нзгиба балок в обычной виде. есть момент, с которым силы, приложенные левее сечения,

соответствующего абсциссе х, стремятся повернуть левую часть балки относительно правой (изгибающий момент). К этому добавляются в рассматриваемом случае еще граничные условия

и формула распределения напряжений