ГЛАВА IX. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

§ 1. Колебание струны

1. Дифференциальное уравнение колебаний струны.

Простейших примером задачи на колебание упругого тела является задача о колебании струны. Дифференциальное уравнение движения проще всего вывести непосредственно. А именно, поступим следующим образом: рассмотрим струну, которая настолько сильно натянута силой что можно пренебречь действием силы тяжести по сравнению с Можно тогда ожидать, что движение, вычисленное при пренебрежении силой тяжести, совпадает с реальным. Опыт подтверждает правильность этого. Далее мы еще упростим наши рассуждения тем, что будем рассматривать только малые смещения из положения равновесия, так же как и в статических задачах теории упругости. Поэтому мы будем пренебрегать величинами, содержащими смещения или их производные сомножителями несколько раз, по сравнению с членами, линейными относительно смещений и их производных.

В положении равновесия натянутая струна, очевидно, прямолинейна. Координатой какой-либо точки струны мы будем считать расстояние х вдоль этой прямой от некоторой начальной точки Эту начальную точку а также и конечную точку струны мы будем считать сначала закрепленными. В дальнейшем мы однако сможем освободиться от этого условия; в частности мы рассмотрим, например, бесконечно длинную струну. Во всех случаях струна должна быть натянута силой Если разрезать струну в какой-либо точке, то для сохранения равновесия к обоим получающимся свободным концам надо будет приложить силы, равные направленные в противоположные стороны по прямой, вдоль которой расположена струна.

Для описания движения струны введем прямоугольную систему координат. Ось х направим вдоль положения равновесия струны, оси выберем к ней перпендикулярными. Смещения из положения равновесия определяются их проекциями на оси координат.

Рассмотрим элемент струны длиной Концы его получают смещения и длина этого элемента после смещения определяется формулой:

откуда, пренебрегая величинами второго порядка, получаем:

С увеличением длины элемента связано увеличение напряжения в данном месте, пропорциональное относительному удлинению элемента и равное на единицу площади поперечного сечения, где модуль упругости и относительное удлинение элемента струны в рассматриваемой точке. Если есть площадь поперечного сечения струны, то полное приращение величины будет:

Полное натяжение направлено по касательной к деформированной струне. Обозначая углы между направлением касательной и осями координат через и принимая во внимание малость смещений и их производных, можем считать, что величины направляющих косинусов равны:

На левую границу рассматриваемого элемента девствуют поэтому сила с компонентами:

а на правый конец:

и, следовательно, на весь элемент

Согласно основным уравнениям динамики, эти компоненты силы равны произведению из массы элемента на соответствующие компоненты ускорения. Если обозначить через массу единицы длины струны, то масса нашего элемента длины будет равна Компоненты ускорения равны:

Значит мы будем иметь уравнения:

Сокращая эти уравнения на получаем дифференциальные уравнения движения струны:

В этих уравнениях компоненты смещений полностью отделены друг от друга. Вид этих уравнений (по крайней мере при постоянном поперечном сечении и при всюду одинаковом модуле упругости одинаков для всех трех компонентов. Граничные и начальные условия во всех трех случаях одинаковы.

На концах струны, т. е. при для всех значений величины В момент вдоль струны, т. е. при известны положения и скорости точек струны; иначе говоря, при нам заданы как функции от х при

Функция и определяет продольные колебания струны; только эти колебания зависят от упругости материала струны, т. е. от суть компоненты поперечных колебаний. По вышесказанному достаточно заняться только одним из компонентов, например Рассмотрим сначала случай постоянных Положив

мы приходим к задаче интегрирования дифференциального уравнения

с добавочными условиями: