§ 3. Слой жидкости с металлической границей. Цветные кольца Нобили

1. Задача Римана.

Законы распределения тока в объемных проводниках изучаются с помощью явления цветных колец Нобили. Если через слой электролита, находящийся над металлической пластинкой, пропускать ток, входящий через острие, а выходящий через пластинку, то на последней получается осадок, толщина которого, на основании закона Фарадея, определяется плотностью тока в соответствующем месте выхода. Этот осадок дает в падающем свете цветные кольца Ньютона, с помощгю которых можно экспериментально определять толщину слоя и тем самым распределение плотности тока. На основании прежних опытов в этом направлении, которые однако основывались на неправильном вычислении линии тока, Риман произвел последующие вычисления, кладя в основу законы

тока, сформулированные в § 1; он искал поток в проводящем слое; распределенном на идеально проводящей металлической стенке.

Пусть плоскость представляет собой поверхность металла (на рис. 82 заштрихованную), означает высоту лежащего на пей слоя жидкости, обладающей проводимостью X, а в качестве электрода, из которого выходитнток, возьмем точечный источник тока на высоте Пусть есть полный ток, выходящий из источника, -потенциальная функция илеитричеевого у поля тока. В этом виде задача близко связана той, котортю мы разбирал в § 2, 3.

Решение должно удовлетворять следующим условиям (здесь означает функция

должна представлять собой регулярную потенциальную функцию внутри слоя включая окрестность точки следовательно, должна удовлетворять уравнению

На верхней границе слоя составляющая тока но пор мали к поверхности равна 0, т. е.

Рис. 82.

На поверхности металла равны нулю касательные составляющие напряжения поля и тока, т. е.

Наконец, при должно стремиться к по крайней мере как Функцию можно найтн методом зеркального отражения, подобном тому, который был уже применен в двухмерном случае гл. XV § 5, 3,b). При этом приходится исходить из полюсной функции и удовлетворить сначала условию (2), отражая полюс в плоскости с сохранением его знака; в случае это выражено уже в формуле (1) для функции После этого можно удовлетворить условию (3), отражая полюс в плоскости и изменяя его знак. Каждая из отраженных функций удовлетворяет пограничному условию только на соответствующей плоскости отражения, но не удовлетворяет ему на другой пограничной плоскости. Поэтому их нужно подвергнуть последовательным отражениям, по тем же правилам, как и в указанной главе. При этом мы получим полюсы в следующих точках:

где значки, поставленные наверху, указывают на знак полюсов. Суммируя по всем полюсам, мы получим потенциальную функцию

которая формально удовлетворяет всем поставленным условиям. Ее сходимость, также несомненна, так как отдельные члены суммы при больших уменьшаются пропорционально и при этом каждые два последующие члена имеют противоположные знаки.

В тех областях, в которых для сравнения с экспериментом доста точно принять в расчет несколько членов суммы. На больших расстояниях удобнее другое представление, основанное на том обстоятельстве, что функция представляет собой периодическую функцию он с периодом Так как кроме того функция нечетна оси [т. е. ] и в то время четна по отношению к оси [т. е. ], то ее разложение в ряд Фурье имеет вид:

и мы получаем для коэффициентов выражение

Если в общем члене суммы со значком положить

то нодинтегральная функция во всех членах суммы принимает одинаковый вид, и отдельные члены отличаются только изменением границ интегрирования на при этом необходимо принять в расчет, что знак функции при нечетном изменяется, поэтому мы получаем:

Если ввести в качестве переменной интегрирования то этот интеграл превращается в интеграл нулевого порядка [ср. (19) в § 2, 3]: Следовательно

и при больших значениях можно использовать для асимптотические формулы (29) § Тогда мы получаем ряд

который очень быстро сходятся вследствие наличия экспоненциального множителя. Искомая плотность тока на поверхности металла получается в виде: