2. Интегрирование дифференциальных уравнений свободных колебаний.

Движения, удовлетворяющие уравнениям (4), называют "свободными" колебаниями около основного движения, так как при этом нет никаких другие сил, кроме тех, которые действуют при основном движении. Их интегрировали производится согласно общей теории систем линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Положим:

Подставляя это в (4), мы получим, что постоянные должны быть решениями линейных однородных уравнений:

которые только в том случае могут иметь отличные от нуля решения, когда X является решением алгебраического уравпепия порядка

где

Если есть простой корень уравнения I) то с точность до общего множителя существует только одна единственная система решений уравнений (8) при Если, следовательно, имеет только простые корни, всего в количестве то, согласно (7), имеется также различных независимых систем решений уравнений (4), а именно:

При этом представляют собой произвольные постоянные. Суммирование решений (10) по а. дает поэтому самое общее решение.

Если же, наоборот, есть кратный корень, например, -кратный, то результат зависит от того, как ведут себя миноры при . А именно, если миноры с строчками также обращаются в нуль и только среди миноров с строчками один отличен от нуля, т. е. детерминант имеет ранг та, то линейные уравнения (8) имеют при не одно, а независимых систем решений вида (10), которые, следовательно, имеют одинаковые но различные системы коэффициентов Если же, наоборот, не все миноры с числом строк, большим чем обращаются в нуль и, следовательно, имеет ранг выше, чем , то кроме решений вида (10) появляются еще решения вида:

где опять представляют собой определенные коэффициенты.

Величины в уравнениях (10), а также в уравнениях (11), вообще говоря, не вещественны. Однако, из уравнений (10) можно получить вещественных систем решений. Разложим на вещественную и мнимую части, т. е. положим:

Так как есть уравнение с вещественными коэффициентами, то корни можно соединить в пары комплексно сопряженных корней и корню, соцряженпому с соответствует система решений уравнений (8), комплексно сопряженная с

Следовательно, систем решений (10) соединяются в пары, и из каждой пары можно посредством сложения и вычитания получить пару вещественных систем решений, а именно:

Здесь произвольные вещественные постоянные. Суммируя по а, мы получим отсюда общее решение дифференциальных уравнений (8). Последнее, очевидно, можно составить из следующих 2» частных решений:

При этом нужно только вместо ввести следующим образом новых постоянных

Общий характер движений, представленных уравнениями (13) и (14), будет следующий: для вещественного (следовательно, получается непериодическое движение, которое при положительном все больше удаляется со временем от основного движения, а при отрицательном асимптотически приближается к основному движению Для чисто мнимой (следовательно, уравнение (14) для каждого а дает периодическое колебание около основного движения с частотою <за единиц времени). В общем случае для комплексного с отрицательной вещественной частью мы получаем колебание с убывающей амплитудой, причем представляет логарифмический

декремент, коэффициент затухания. При положительной вещественной части амплитуды все время возрастают; следовательно, в этом случае мы не получаем движения, остающегося близким к основному. Но так как в этом случае невозможно также пренебрегать высшими степенями величин как это было сделано при выводе уравнений (4), то решения уравнений (4), при которых вообще не представляют приближенных решений первоначальных уравнений движения.

Каждое частное решение, содержащееся в (14) и соответствующее определенному значению значка а, представляет собою колебание, при котором координат испытывают периодические изменения с одинаковой частотой ааис одинаковой фазой (например, все обращаются в нуль в одно и то же время). Различаются они только амплитудами, находящимися, однако, в определенных соотношениях. Такое колебание системы называется свободным главным колебанием или стввнным колебанием, а частоты — собственными частотами. Следовательно, если имеет только простые невещественные корни, т. е. различных корней, то система имеет различных собственных частот (потому что каждому и его комплексно сопряженному соответствует одно и то же Но на основании уравнений (13) или (14) каждой собственной частоте соответствуют два главных колебания с одинаковым соотношением амплитуд, но со сдвигом фаз на Если среди корней есть вещественных, то комплексным или чисто мнимым корням соответствует опять собственных частот и главных колебаний, вещественным корням соответствуют различных непериодических движений с различными (в общем случае) отношениями амплитуд.

Если есть -кратный комплексный корень, имеет ранг то частоте соответствует не 2, а главных колебаний, из которых всегда каждые два отличаются только по фазе. Если ранг выше, чем та, то корню соответствуют еще другие решения, кроме главных колебаний, а именно вещественные решения, которые получаются из (11) соответствующей комбинацией или разложением на вещественную или мнимую часть, и они, согласно (12), имеют вид:

где величины вещественны. Эти решения тоже представляют собой колебания с частотой но с амплитудой, зависящей от времени, уменьшающейся со временем асимптотически до нуля при отрицательном но уже при (следовательно, при чисто мнимом растущей со временем до бесконечности.