3. Центробежный регулятор.

В качестве следующего примера рассмотрим центробежный регулятор. представляет собою приспособление, позволяющее сохранять равномерность вращения махового колеса какой-нибудь машины (например, паровой машины) даже при внезапных изменениях нагрузки. Мы будем схематически рассматривать махоное колесо вместе с регулятором как систему с дпумя степенями свзбоды.

Обозначим через координату положения махового колеса, т. е. угол между одной из его спиц и неподвижной прямой, лежащей в плоскости колеса. Ось махового колеса жестко связана с осью регулятора. Ось регулятора, которую мы будем представлять себе расположенной вертикально, связана при помощи шарниров с двумя жесткими стержнями, к которым прикреплены два шара. Эти шары могут передвигаться в плоскости, проходящей через ось регулятора (рис. 5). Если маховое колесо привести в движение, то ось регулятора начнет вращаться, и благодаря центробежной силе шары поднимутся. В качестве второй координаты, описывающей наше устройство, мы выберем расстояние х какого-нибудь из шаров, которые мы будем считать расположенными симметрично, от оси регулятора. Действие устройства заключается в том, что положение шаров

каким-либо способом влияет на скорость вращения махового колеса; например, можно считать, что скорость уменьшается при поднятии шаров.

Если момент инерции махового колеса обозначить через то кинетическая энергия К всей системы будет состоять из трех частей: I) кинетической энергии махового колеса — (гл. IV, § 1,4); 2) кинетической энергии вращения шаров регулятора, равной где от есть масса обоих шаров, отношение числа оборотов регулятора к числу оборотов махового колеса и кинетической энергии колебательного движёния шаров в плоскости, проходящей через ось. Таким образом, полная кинетическая энергия будет

Обозначим обобщенные силы, соответствующие координатам через есть момент вращения, зависящий от нагрузки машины (например, от противодействия, создаваемого индуктируемыми электрическими токами в динамо-машине, приводящейся в движение нашей паровой машиной), от положения х регулятора и от сил трения, которые мы будем считать пропорциональными угловой скорости Значит есть функция от х и Положим

где есть момент вращения нагрузки. Сила X, действующая на х, зависит от положения регулятора и от сил трения, которые мы нопрежнему будем считать пропорциональными х. Таким образом X есть функция вида Тогда уравнения движения, согласно гл. II, § 2, (9), примут вид:

Вычисляя эти выражения при помощи (28) и пренебрегая моментом инерции регулятора но сравнению с моментом инерции махового колеса мы получим:

Мдесь есть скрытая координата в смысле § 1, 1.

Однако мы не можем говорить о квазистатических движениях, так как сила не имеет потенциала. Если мы исследуем движение, для которого, так же как и в случае квазистатического движения (см. § 1, 2), томожво показать, что такого рода движения существуют и представляют собою перманентные движения в смысле § 3, 1. Действительно, полагая в мы получим:

Таким образом, при данной нагрузке существует, вообще говоря, только одно определенное положение регулятора и одна определенная угловая скорость при которых возможно пермапентпое движение. Исследуем теперь, будет ли движение устойчивым. Для этого рассмотрим бесконечно мало отличающееся движение, для которого угловая скорость и положение регулятора уже не постоянны.

Положим

и, следовательно, причем величины зависящие от времени, настолько малы, что достаточно принять во внимание их первые степени. Пусть:

где значок означает, что

Подставим теперь (32) в (30). Принимая во внимание (33) и (31), а также соотношение:

получающееся при дифференцировании второго из уравнений (31), и пренебрегая степенями выше цервой, мы получим:

Введем теперь для краткости обозначения:

Далее, согласно (31а), мы имеем

Обозначая "степень неравномерности хода" регулятора через 8, а наибольшее наблюдаемое на практике изменение величины х через мы получим

Тогда, на основании (36), (37):

Далее положим

Отсюда следует, что

если есть разность значений при крайних положениях регулятора. Пусть

Величина называется затуханием, скольжением, а - временем падения регулятора. Это есть время, в течение которого тело, движущееся ускорением проходит расстояние Величина — есть время разбега машины, т. е. время, в течение которого угловая скорость возрастает от до В этих обозначениях уравнения (34) имеют вид:

Так как это есть дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами» то основное движение действительно, является перманентным движением в смысле § 3, 1. Характеристическое уравнение соответствующее уравнениям (42), можно найти, пользуясь методами § 3. Однако, здесь будет проще свести два уравнения (42) к одному дифференциальному уравнению третьего порядка.

Для этого решим второе уравнение (42) относительно и подставим, результат в первое уравнение (42); мы получим:

где

При этом характеристическое уравнение примет вид:

где величины определяются из (44). Условия для того, чтобы (45) представляло собою уравнение Гурвица, выражаются неравенствами:

т. е. согласно (44):

Отсюда легко видеть, что если нет затухания и скольжения то эти условия не удовлетворяются, так как не может быть положительным Таким образом, для устойчивости движения регулятора требуется наличие затухания Если не принимать во внимание изменение момента вращения машины изменении числа оборотов, или "саморегулировку", т. е. если положить то из (46) следует

Следовательно, "неравномерность хода" также необходима. Затухание должно быть тем больше, чем меньше неравномерность хода . Если то затухание может быть меньше. В самом деле, из (46) мы получили

Это неравенство удовлетворяется при очень малых , если достаточно велико.

Следующей пример применения теории малых колебаний к исследованию устойчивости перманентных движений, в котором имеет значение критерий Гурвица, можно найти в гл. IV, § 4, 4.