5. Кинематические и динамические условии совместности для уравнений упругости.

В последующем изложении нам будет необходимо пользоваться некоторыми разрывными решениями уравнений теории упругости. При этом мы могли бы ограничиться требованием выполнения кинематических и динамических условий совместности для тех волновых уравнений, к которым сводятся уравнения упругости; но для наших целей удобнее привести другой вывод, основанный на применении самих уравнений упругости. Как прежде в § 2, назовем кинематическим условием совместности условие того, чтобы обе составляющих вектора смещения имели лишь правильные поверхности разрыва в конечном числе. Динамические условия будут опять заключаться в том, чтобы к заданному решению можно было приблизиться сколь угодно с помощью других дифференцируемых решений и притом так, чтобы на всех поверхностях, не касательных к поверхностям разрыва, можно было бы совершать предельные переходы в интегралах, содержащих производные от составляющих вектора смещения.

Если мы возьмем в формуле (17) один раз а другой раз то мы получим две интегральные формулы, которым удовлетворяет всякое дифференцируемое решение уравнений теории упругости:

Эти формулы аналогичны формуле (33) § 2. Их иногда также называют законом импульсов. Для того чтобы пояснить это название, применим, например, первую из этих формул к телу, ограниченному цилиндром с образующими, параллельными оси и двумя плоскостями параллельными плоскости Обозначая при этом через контур основания цилиндра, а через площадку проекции цилиндра на плоскость мы получим:

Левая часть этого равенства представляет собой сумму составляющих по оси X от импульсов всех сил, действовавших на площадку а правая дает приращение составляющей количества движения этой площадки по оси

Так же как и в § 2, наше определение динамических условий совместности влечет за собой справедливость законов импульсов для решений, удовлетворяющих этим условиям. Так же как и там, мы иогли бы взять это обстоятельство за определение динамических условий.

Можно доказать, что и здесь мы можем полностью свести вопрос к геометрическим свойствах поверхностей разрыва. Из справедливости закона импульсов для нашего разрывного решения вытекает, что выражения:

должны быть непрерывны при прохождении сквозь поверхность разрыва. Кроме того, из кинематических условий совместности вытекает непрерывность выражений

Для того чтобы поверхность могла служить поверхностью разрына, необходимо, чтобы ранг матрицы, составленной из коэффициентов при производных от в выражениях был меньше шести. Иначе все эти производные являлись бы линейными комбинациями непрерывных выражений и сами были бы непрерывны. Упомянутая матрица имеет вид:

Если приравнять нулю все определители шестого порядка этой матрицы, то после подробных вычислений мы увидим, что все они содержат множитель:

и могут уничтожиться одновременно только в том случае, когда этот множитель обратится в нуль. Отсюда мы видим, что поверхности разрыва для уравнений теории упругости могут быть двух родов: одни из них должны удовлетворять уравнению

а другие уравнению

Однако, в отличие от прежнего, условий (23) и (24) недостаточно для выполнения динамических условий совместности; даже если все определители шестого порядка матрицы (21) обращаются в нуль, выражения (19) могут и не являться линейными комбинациями выражений (20).

Чтобы разобраться в этом подробнее, выберем направление осей х и у специальным образом так, чтобы в исследуемой точке поверхности разрыва направление оси у лежало в касательной плоскости к этой поверхности; при этом равен нулю и производные непрерывны при переходе сквозь В этом случае левые стороны (20) принимают вид:

Если выполнены условия (23), то первое из этих выражений непрерывно а втоматически, так как непрерывно по предположению, пропорционально которое непрерывно в силу кинематических условий совместности. Что карается второго из выражений (20), то из его непрерывности следует непрерывность всех производных от так как и могут быть представлены как линеиные комбинации от

и

Совершенно так же можно убедиться, что, если выполнено условие (24), второе из выражений (20) непрерывно автоматически, а непрерывность первого влечет за собой непрерывность всех производных от Так как и в нашем случае является нормальной составляющей вектора смещения по отношению к линии разрыва в плоскости тангенциальной составляющей, и так как выбор координатных осей, очевидно, не влияет на результат, то мы можем утверждать, что при соблюдения условия (23) могут терпеть разрыв лишь производные от нормальной составляющей вектора смещения, а при соблюдении (24) лишь производные от его тангенциальной составляющей.

Наша формулировка условий совместности может быть еще упрощена, если мы перейдем к изучению порознь обоих слагаемых, потенциального и соленоидального, на которые может быть разбит вектор смещения.

Пусть

где у — вектор потенциальный, вектор соленоидальный.

Нетрудно убедиться в том, что для потенциального вектора производные тангенциальной составляющей к поверхности разрыва непрерывны. Для соленоидального вектора, наоборот, непрерывны производные от нормальной составляющей.

Для доказательства, выберем опять такую систему координат, в которой ось у параллельна касательной к поверхности разрыва в данной точке. Для потенциального вектора

Производная от но непрерывна в силу кинематических условий, следовательно, также непрерывна. Из непрерывности и из кинематических условий вытекает непрерывность

Аналогично, для соленоидального вектора

и из непрерывности вытекает непрерывность всех производных от .

Мы видим, таким образом, что динамические условия совместности эквивалентны тому, что для потенциального слагаемого поверхности разрыва должны удовлетворять условию (23), а для соленоидального слагаемого — условию (24).

Нетрудно убедиться, что таким образом динамические условия для уравнений упругости эквивалентны динамическим условиям для тех волновых уравнений, которым удовлетворяют потенциальное и соленоидальное слагаемые вектора смещения.

Выполнение кинематических и динамических условий совместности для одного из решений, входящих в формулу (17), является достаточным для того, чтобы формула (17) была применима при условии, Что другое решение имеет непрерывные производные.

Действительно, если эти условия для выполнены, непрерывно, то мы можем, вырезав из объема В все поверхности разрыва близкими к ним параллельными поверхностями, лежащими по обе стороны, подобно тому, как мы делали в § 2 этой главы, применить формулу (17) к оставшемуся объему.

После предельного перехода интегралы по обеим сторонам поверхности разрыва сократятся в силу непрерывности (19), и мы получим формулу (17) для всего объема.