§ 3. Задача об источниках колебаний для полупространства

1. Источники колебаний с однородными потенциалами.

Большое количество частных решений уравнений теории упругости, в которых потенциалы и являются однородными функциями нулевого порядка от имеет определенный физический смысл.

Рассмотрим несколько примеров таких задач.

Простейшая задача такого типа — это задача о сосредоточенной силе.

Рассмотрим уравнения плоской задачи теории упругости с массовыми силами в неограниченном пространстве:

Допустим, что мы решаем такую задачу, в которой при как смещения, так и массовые силы обращаются в нуль. При в некоторой ограниченной области начинают действовать массовые силы , которые действуют в течение ограниченного промежутка времени

Далее, при массовые силы прекращают свое действие и среда продолжает колебаться свободно.

Рассмотрим теперь такое решение задачи, в котором массовые силы выражаются формулами:

Эти массовые силы действуют внутри области подобной но уменьшенной в раза с центром подобия в начале координат, в течение промежутка времени

Назовем потенциалы, соответствующие такого рода задаче.

Начнем затеи уменьшать параметр устремляя его к нулю

При этом, как легко видеть, интегралы:

представляющие собой составляющие импульса сил, действовавших на среду, остаются постоянными.

В пределе мы получим функции и дающие ответ на вопрос о действии сосредоточенного элементарного импульса, действующего в начале координат в момент

Если бы все предельные переходы, которые мы совершаем, оказались допустимыми, что мы проверим впоследствии, то можно было бы легко доказать, что функции есть однородные функции нулевого порядка, удовлетворяющие волновому уравнению.

Действительно, пусть вектор массовых сил можно представить в виде:

где функции обращаются в нуль при При этом мы получим для выражения:

где

причем уничтожаются при и при

Как доказано в § 1, потенциалы будут удовлетворять уравнениям:

Совершая предельный переход, получим:

Введем в рассмотрение. функции

Эти функции, очевидно, удовлетворяют уравнениям:

Принимая во внимание, что

и

мы видим, что уравнения для буквально совпадают с теми, которым удовлетворяют

Предполагая, что нага предельный переход приводит к определенному единственному результату, что мы также проверим впоследствии, получим:

Таким образом:

что и доказывает наше утверждение.

Наше элементарное рассмотрение дает возможность, кроме того, сделать несколько заключений относительно характера решений.

Очевидно, что при как и так и обращаются в нуль.

Предполагая решения непрерывными, мы видим, что при должны обратиться в нуль. Так как, по условию правильности разрывов, плоскость не может быть поверхностью разрыва, то и обращаются на ней в нуль.

С другой стороны, при положительных для всей внешности конуса:

мы будем иметь для представление:

где

Кроме того, при

Дифференцируя (13) по получим:

так как обе производные и должны обратиться в нуль, то следовательно, обе функции представляют собой просто постоянные, обратные по внаку.

Отсюда вытекает, что во всей внешности конуса обращается в нуль. Так же можно доказать, что уничтожается во внешности конуса

Отсюда мы получаем граничные условия для вещественной части функции комплексного переменного формулу (14) § 2] в представлении

Эта вещественная часть уничтожается на контуре круга единичного радиуса. Если бы мы предположили, что потенциалы ограничены, то пришли бы к заключению, что они тождественно равны нулю.

Поэтому естественно предположить, что они являются неограниченными. Проще всего сделать допущение, что они имеют особенность в точке При этом потенциалы будут неограниченны в начале координат во все моменты времени. Функции комплексного переменного, выражающие эти потенциалы, должны разлагаться в сходящийся ряд Лорана вокруг начала координат, содержащий бесконечные члены.

Характер этих бесконечных членов мы сейчас исследовать не будем. Впоследствии мы сможем непосредственно вычислить потенциалы и определим эти члены. Если бесконечные члены будут известны, то конечная часть определится однозначно, благодаря граничному условию.