3. Функция плоской волны, однозначная на поверхности Римана.
Мы начнем с представления функции плоской волны, однозначной в обыкновенной плоскости [гл. XIX, § 1, (14)]:
в виде комплексного интеграла. Введем полярные координаты 
добавим амплитуду А и выберем в качестве направления падающей волны вместо оси 
произвольное направление х. Тогда мы будем иметь вместо (7):
Мы получим решение волнового уравнения, если будем считать А функцией х и проинтегрируем каким-нибудь образом по 
В качестве пути интегрирования мы выберем обход в комплексной плоскости 
в положительном направлении вокруг точки 
и выберем 
так, чтобы оно имело в этой точке полюс первого порядка с вычетом 
Тогда, по теореме Коши, (8) переходит в (7). Выберем, в частности, для 
периодическую функцию х с периодом 
именно
Обход вокруг нуля мы можем деформировать произвольным образом, если только мы не переходим через полюса А функции (т. е. через все точки 
целое). Если мы хотим, чтобы наш путь интегрирования уходил на бесконечность, мы должны позаботиться, чтобы на бесконечности подинтегральная функция обращалась в нуль. На рис. 91 заштрихованы те области, в которых 
имеет положительную мнимую часть; они ограничены, как легко проверить, прямыми 
целое). В этих заштрихованных областях вещественная часть 
обращается на бесконечности в отрицательную
бесконечность, следовательно, доказательная функция в (8) обращается в нуль. Обозначенный на рис. 91 путь интегрирования состоит из двух ветвей С, каждая и» которых уходит в бесконечность в двух соседних заштрихованных областях, и из двух связывающих путей 
Последние выбраны так, что они переходят один в другой при смещении на 
и гзаимно уничтожаются вследствие периодичности подинтегральной функции и противоположности направлений обхода.
Значит, если в (8) интегрировать по двум ветвям С, то этот путь интегрирования все еще будет эквивалентен обходу вокруг 
и выражение (8) будет тождественно с (7).
Теперь можно непосредственно осуществить переход от простой плоскости к поверхности Римана с точкой разветвления порядка 
Вместо (9) положим
т. е. выберем 
так, чтобы оно имело период 2-й и сохранило полюс с вычетом 
в точке 
В качестве пути интегрирования возьмем две ветви О (заметим: без связывающих линий 
Теперь
Мы должны показать, что это выражение, в связи с условиями (1), (2), (3), (4) стр. 850 и 851, удовлетворяет следующим требованиям:
1) и удовлетворяет волновому уравнению 
в координатах 
точки наблюдения. Это следует непосредственно из того, что мы представили и в виде наложения плоских волн (7 а);
2) и везде конечно и непрерывно. Для 
это следует из представления и в виде всегда сходящегося комплексного интеграла, причем мы всегда можем избежать перехода через особую точку. Только точка разветвления 
требует особого рассмотрения. Для 
обусловливающая сходимость показательная функция обращается в единицу; однако, несмотря на это, интеграл не расходится; это следует из того, что остающийся интеграл можно написать, положив 
Это дает при интегрировании по нашим ветвям С конечное значение 
Другое дело производная 
которая для 
обращается в 
как покажут приближенные формулы § 2, 2;
3) на нашей поверхности Римана 
однозначно. В самом деле, положим в 
в; тогда получается:
т. е. выражение, которое превращается в самого себя, если 
увеличить на 
сделать полный 
по разветвленной поверхности. В то время как в уравнении (10) путь интегрирования по х перемещается вместе с 
(к чему мы вернемся на следующем рисунке), 
остается неизменным в уравнении (10а), в силу определения 
4) и ведет себя на бесконечности на первом листе как плоская волна (7) и исчезает на бесконечности на всех остальных листах. Первым листом мы называем все точки, для которых 
второй, третий, 
листы определяются посредством неравенств
Для доказательства нужно только еще раз рассмотреть рис. 91. Если мы находимся на первом листе, то полюс 
лежит на отрезке 
он, в частности, совпадает с А или В, если 
или 
Рис. 92.
Когда 
обращается в бесконечность, показательный множитель 
исчезает во всех точках заштрихованных областей (а не только для бесконечности), так как он имеет там отрицательный вещественный бесконечно большой показатель (благодаря множителю 
). Интеграл по одной из петель С (в нашем случае по проходящей в положительной полуплоскости) равен нулю, так как мы можем провести путь интегрирования через точки 
целиком по заштрихованной области. Если мы сделаем то же самое с интегралом по другому контуру, то путь интегрирования повиснет на полюсе 
Остальная часть интеграла исчезает также и в этом случае. Остается только обход вокруг 
который приводит нас опять в выражению (7), так как вычет (9а) равен 
Если же мы, напротив, находимся на одном из остальпых листов, полюс 
не лежит на отрезке 
Оба пути интегрирования можно провести целиком по заштрихованным областям, и следовательно, интеграл равен нулю. Поэтому решение и исчезает на бесконечности всех листов за исключением первого. Следовательно, плоская волна, распространяющаяся в направлении 
в первом листе, Не распространяется до бесконечности на всех остальпых листах, на конечном же расстоянии от точки разветвления ее действие можно, разумеется, обнаружить и в этих листах.
Для полпоты, докажем еще уравнение, аналогичное уравнению (6):
которое утверждает, что сумма значений разветвленного решения в 
точках, лежащих друг над другом в 
листах, равна разветвленной функции плоской волны 
Для доказательства начертим на рис. 92 рядом пути интегрирования, соответствующие положению нашей точке в первом, втором и т. д. листах,
которые взаимно уничтожаются, вследствие периода 
В результате мы долучим замкнутый обход вокруг полюса 
и поэтому, в силу теоремы Коши и того, что вычет в этой полосе равен 
интеграл будет равен 
как это и показывает правая часть уравнения (11).
Здесь получится просто:
падает плоская волна, она немного переходит в соседние листы 
тогда как в дальнейших листах поле возбуждается все меньше и меньше.
