§ 2. Инвариантность уравнений Максвелла по отношению к преобразованию Лоренца
Так как электронная теория объясняет электродинамические свойства материи с помощью подвижных или приведенных в движение электронов, она
имеет дело с единой средой — пустым пространством (с "чистым эфиром"). Для этого пространства
так что основные уравнения § 1, если в них подставить вместо
его выражение
будут иметь вид:
Чтобы понять структуру этих уравнений и, вместе с Тем, подготовить их интегрирование, покажем, что они допускают некоторую группу преобразований. Мы тем самым пойдем по пути, который был намечен Клейном в его "Эрлангенской программе" сначала только для различных геометрических дисциплин, а затем распространен им самим на механику и теорию относительности.
1. Введение электромагнитных потенциалов.
Мы удовлетворим уравнению
если положим:
А называется "вектор-потенциалом". Уравнение (1) напишется тогда так:
Стоящая в скобках величина является, таким образом, невихревым вектором, И потому есть градиент скалярной функции. Назовем эту функцию — у; мы получим:
называется скалярным потенциалом. Подставляя (2) в
и
будем иметь:
Заметим, что последнее преобразование возможно только при употреблении прямоугольных (не криволинейных) составляющих А.
Мы можем еще более упростить два последних уравнения, если подчиним потенциалы
дополнительному условию, которое только и определит
однозначно.
Именно, положим
Тогда в (4) градиенты выпадут с обеих сторон и (4) перейдет в дифференциальное уравнение для одного А:
Точно так же (3) переходит в дифференциальное уравнение для одного
Левые части уравнений (3) и (4) имеют теперь вид "волнового уравнения" в смысле § 1, (11).
Действительный смысл этих соотношений выясняется только тогда, когда мы вместе с Минвовским
сделаем явной четырехмерную симметрию пространственных и временных координат. Мы будем употреблять прямоугольные координаты
и в качестве четвертой координаты мнимый "световой путь"
Эти четыре координаты мы будем обозначать также
и определим с их помощью четырехмерный "координатный вектор". Затем объединим вектор-потенциал и умноженный на
скалярный потенциал в один четырехмерный потенциал
а величины
в один вектор — четырехмерный ток
Составляющие
по координате
будут
Они, так же как и для трехмерных векторов, обозначают проекции на оси координат. Мы ввели, таким образом, три четырехмерных вектора, компоненты которых получаются из следующей таблицы:
Таблица 1 (см. скан)
Перенося простейшие векторные операции на четырехмерные векторы, определим, как "расходимость четырехмерного вектора", скалярную величину:
Затем определим "вихрь"
величину с шестью составляющими — называемую "антисимметрическим тензором" или "шестерным вектором" (Sechser-vektor).
Составляющие ее суть
И наконец, введем "четырехмерную операцию дельта" в символике, которой уже пользовался Коши:
После этого, уравнения (3) и (4) соединятся в
ополнительные условия (5) будут:
и уравнения (1) и (2) можно единообразно представить в виде:
Прежде чем мы займемся выводом следствий этого удивительно красивоп представления, мы должны выяснить структуру антисимметричного тендорь в уравнении (9).