§ 4. Теория преобразований дифференциальных уравнений Гамильтона

1. Аналогия между оптикой и механикой по Гамильтону.

Принцип Гамильтона (§ 2, 4) утверждает, что движение механической системы соответствует экстремальному значению интеграла

ввятого вдоль траектории движения в пространстве и переменных Этот принцип совершенно аналогичен изученному вами в гл. I, § 1, 2, свойству световых лучей, вытекающему из принципа "Ферма и заключающемуся в том, что интеграл

взятый вдоль них, должен иметь экстремальное значение. Чтобы обоим принципам общее математическое выражение, достаточно привести интеграл (1) к виду (2) и положить

Координаты применяемые в геометрической оптике, соответствуют здесь переменным или, если формально обозначить через то — переменным

Таким образом, все рассуждения первой главы, основанные на принципе Фермёь, могут быть повторены почти дословно. Так, например, мы можем ввести величину, аналогичную вектору гл. I, § 1 (41)]. Обозначим эту величину также через а ее составляющие через и определим ее, согласно гл. I, § 1 (22), при помощи соотношений

Если заменить на согласно (3), а вместо величин опять ввезти, согласно гл. § 2, скорости то мы получим

Из этих уравнений очевидно, что первые составляющих вектора тождественны с составляющими импульса [§ 2, (49)], канонически сопряженного с координатами тогда как равно отрицательному значению "взаимной" функции Лагранжа [§ 2, (36а)]. Если решить первые уравнений (5) относительно величин и подставить полученные функции зависящие от в последнее уравнение, то мы получим уравнение

аналогичное уравнению Гамильтона в геометрической оптике.

Каноническая система дифференциальных уравнений Гамильтона для световых лучей [гл. I, § 1, (52)] также может быть непосредственно перенесена в механику в следующем виде:

Однако из (6) следует, что

выбирая время в качестве параметра и, мы получим:

т. е. уравнения Гамильтона § 2, (52) и закон сохранения энергии § 2, (38). Функция как было выяснено в геометрической оптике на стр. 17, определена ур-нием (6) лишь с точностью до некоторого произвольного нормировочного множителя выбор которого эквивалентен выбору определенного параметра в уравнениях Гамильтона. Как явствует из предпоследнего из ур-ний (8), наш параметр определяется также видом функции в ур-нии (6). В этом можно убедиться и непосредственно, приняв во внимание, что производная координаты не входит в [см. ур-ние (3)] только тогда, когда параметром является Поэтому только в этом случае функция имеет вид, определяемый выражением (6), решенным относительно

Отметим, что функция есть аналог функции Гамильтона, введенной нами в геометрической оптику, а функция есть функция Гамильтона, применяемая в механике и введенная нами в § 2.

Аналогом волновых поверхностей для которых вдесь являются поверхности -мерном пространстве, для которых

Тогда мы получим соотношение:

аналогичное уравнению эйконала в геометрической оптике