§ 4. Диффракция от шара и от других тел. Метод разложения в ряды

Метод разложения в ряды (метод Фурье) допускает гораздо более обширные приложения, чем метод разветвленных решений. Как и везде в математиче ской физике, без него нельзя обойтись и в теории диффракции, например, в случаях цилиндрических или сферических поверхностей раздела. Применяя это метод, мы должны прежде всего ввести подходящие, вообще криволинейные, ко ординаты, допускающие разделение переменных, т. е. такие, что в них волновое уравнение имеет частные решения в виде произведения функций, зависящие только от одной координаты каждая. Мы должны заняться сначала этими част ными решениями.

1. Частные решения.

а) Цилиндрические координаты. В обычных цилиндрических координатах мы имеем следующее частное решение уравнения независящее от

где представляет одну из цилиндрических функций (Ганкеля или Бесселя), введенных на стр. 866.

Если вадача требует простой периодичности по например, в случае диффракции от цилиндрической проволоки, то нужно веять целому числу. В этом случае мы выберем следующие два частных решения:

Внутри цилиндра нужно брать только первое решение, так как только оно остается конечным при Второе надо употреблять в области вне цилиндра, если дело идет о волнах, расходящихся от цилиндра (отраженные или рассеянные волны) и если зависимость от времени взята в виде В самом деле, асимптотическое выражение (8) стр. 869 дает при больших характерную для уходящей волны форму показательной функции

Наоборот, если зависимость от времени взята в виде мы должны брать вторую функцию Ганкеля, соответственно асимнтотическбй формуле

Если состояние зависит, кроме еще от то, вместо уравнения (1а) стр. 865, мы будем иметь

Его наиболее общее частное решение будет

Если мы имеем цилиндр с конечной высотой то для того, чтобы удовлетворить граничным условиям на мы должны взять целое)

т. е. считать зависимость от периодичной с периодом Для бесконечного цилиндра можно брать непрерывно меняющееся Положив и предполагая периодичность по мы вместо (3) напишем:

Эти выражения применимы в тех же случаях, как (2) и (2а). Выражения (3) и (4) будут часто встречаться в дальнейшем. Например, мы придем к (3) в главе XXI, § 2 и гл. XXII, § 1. Выражение (4), особенно при весьма важно для вадач беспроволочной телеграфии в гл.

Сферические координаты. Здесь волновое уравнение будет иметь вид:

Ограничиваясь одновначными решениями, не имеющими особых точек по отношению к 0, можно положить:

где суть "присоединенные шаровые функции". При они переходят в обыкновенные полиномы Лежандра (Legendre) от аргумента Из (5) и из известного уравнения для шаровых функций:

нолучается для обыкновенное дифференциальное уравнение

Оно связано с уравнением для Бесселевых функций. Именно, положим

[Тогда, после легких вычислений, мы получаем из

так что есть цилиндрическая функция порядка от аргумента Решение уравнения (7) можно написать в общем виде так:

Специаливируя и добавляя для удобства множитель, положим:

Между этими функциями существует соотношение

аналогичное (4) стр. 866.

имеет с общее свойство оставаться конечным при Функция делаются, подобно бесконечными при Из уравнения (8) стр. получаются асимптотические "выражения, которые в нашем случае, стр. 870; обрываются на члене (мы вдесь выписываем только первый член)

и отсюда, в силу (10),

Особенно просты функции и Полагая в получим уравнение:

Общий интеграл, который при надлежащем выборе постоянных интегрирования С, должен давать будет:

Определяя С в согласии с асимптотическими выражениями (11), находим:

Эти элементарные выражения соответствуют тому обстоятельству, что при асимптотические выражения, как мы уже ваметили, обрываются на нервом члене.

Для частного случая частные решения уравнения (6), а именно то которое остается конечным при и другое, которое после умножения на соответствует при уходящей волне, будут:

Они переходят при в

Величина (14а) есть иввестная функция шаровой волны.

с) Эллиптические координаты. Наиболее общий случай, охватывающий оба предыдущих, представляют эллиптические координаты на плоскости (система софокусных эллипсов и гипербол) или в пространстве (софокусные эллипсоиды и т. д.). Частными решениями уравнения колебаний для плоскости будут функции эллиптического цилиндра, относительно которых см. например книгу Покельса. В пространстве это будут обобщения функций Ламэ. Из диффракционных вадач, исследованных в эллиптических координатах до конца, укажем случаи экрана с эллиптическим или параболическим сечением.