3. Прямоугольное отверстие, щель и полуплоскость.

Здесь не место подробно разбирать следствия, которые можно вывести из уравнения (5). Мы ограничимся случаем прямоугольного отверстия, который приведет нас в конце концов к уже рассмотренному случаю диффракции от полуплоскости.

Пусть падающая волна будет плоская и распространяется перпендикулярно в прямоугольному отверстию. Положим

Пусть точка О лежит на втором экране (экране наблюдения), поставленном на конечном расстоянии а за первым, параллельно в нему. На рис. 102 заштрихована область геометрической тени между обоими экранами.

Происходящие диффракциоиные явления принадлежат в классу диффракции Френеля. Если бы а было бесконечно, т. е. если бы, виесто того, чтобы рассматривать второй экран, мы наблюдали явления с помощью трубы, установленной на бесконечность, мы бы имели более простой случай диффракции Фраунгофера (Fraunhofer), когда источник света и точка наблюдения находятся на бесконечности

Возьмем прямоугольную систему координат с началом в центре прямоугольника. Пусть стороны прямоугольника будут

согласно уравнению (6), для всех точек прямоугольника Из уравнения (5) следуем

Рис. 102.

Координаты точки наблюдения О равны:

так что

Так как мы считаем а большим относительно размеров отверстия и области в которой может находиться точка наблюдения, мы можем разложить по формуле

Это разложение нужно ввести в показательную функцию в (7), так как она бистро меняется, вследствие большого множителя k. Напротив, как медленно меняющуюся величину, можно вывести из-под знака интеграла и заменить в нем на среднее расстояние от точки наблюдения до средины прямоугольника, причем

Тогда из (7) получается:

Оба интеграла имеют вид интеграла Френеля, стр. 881. Сохраняя введенные там обозначения, положим:

После этого произведение обоих интегралов будет равно:

и (9) переходит в

В этой формуле содержится вся сложная система полос, которые будут наблюдаться внутри геометрической проекции прямоугольника (освещенная область), а также вне ее (теневая область).

От прямоугольника мы перейдем к щели, сделав тогда

Этот интеграл равен т. е. он равен комплексному расстоянию точек. на рис. 99, а значит равен и

Формула для щели (которая и в этом случае вполне воспроизводит всю систему полос) гласит (если отбросить несущественный, медленно меняющийся множитель

Наконец, чтобы перейти в полуплоскости, сделаем причем одновременно положим т. е. сделаем (здесь, очевидно, необходимый) перенос начала координат (ср. рис. 102). Тогда:

Это выражение по своему строению тождественно с формулой (22) предыдущего параграфа. Например, точно соответствует прежнему Немного

другой только аргумент первого интеграла Френеля. Раньше он был обозначает угол рассеяния, ср. рис. 102):

а теперь, так как (рис. 102)

Однако, оба выражения совпадают при малых в самом деле,

Сходство обоих решений для полуплоскости (классического и разветвленного) еще подробнее разобрано в цитированных работах Рубиновича (Ann. d. Phys. 53, 257, 1917).