6. Теплопроводность в цилиндре.
Мы рассмотрели до сих нор в этом параграфе задачи, зависящие только от одпой координаты. Перейдем теперь к рассмотрению теплопроводности или диффузии, сначала в цилиндрическом, а затем в шарообразном теле.
Полагаем, что рассматривается цилиндр бесконечной длины, и что температура — функция только от расстояния 
от оси цилиндра; тогда, как в § 2, 2, можно вязать частное решение вида:
где 
произвольные постоянные и 
обозначает функцию Бесселя порядка нуль. Теперь надо удовлетворить граничному условию, требующему, чтобы поверхность цилиндра удерживалась при постоянной температуре, равной, например, нулю, так. что 
при 
Следовательно, X должны быть такими, чтобы удовлетворялось трансцендентное уравнение 
Из теории функций Бесселя известно, что уравнение 
имеет бесчисленное множество вещественных и положительных корней, которые могут быть взяты из соответствующей таблицы. Обозначим их через тогда граничное условие выполнено, если 
Подставляя это в (27), умножая частное решение на произвольную постоянную 
и суммируя по 
от 1 до 
получим общее решение:
Но так как при 
вадано начальное условие 
то
Всякая функция 
(с известными ограничениями) разложима в подобный ряд. 
Положим здесь 
тогда
где 
— корень 
выражается так:
Возвращаясь к переменной 
и принимая во внимание, что 
имеем:
здесь обозначает соответствующее 
-ому корню 
значение 
которое можно взять из таблицы или из чертежа. В силу (28), (29), получим окончательно искомое решение:
Если, например, 
т. е. везде постоянно, то интегрирование в (30) можно выполнить, так как 
тогда
