2. Принцип минимума для смещений. Принцип возможных перемещений.

Если мы применим к нашей упругой системе общий принцип возможных перемещений, который гласит, что для системы, находящейся в равновесии, сумма работ, произведенных при бесконечно малых перемещениях не положения равновесия, равна нулю, то мы должны формулировать его так: при каждом смещении упругого тела положения равновесия, совместном с наложенными на тело условиями, работа внешних сил равна увеличению энергии деформации. Это заключение мы докажем непосредственно.

Рассмотрим упругое тело, деформированное воздействием заданных объемных сил (X, Y, Z на единицу объема) и поверхностных напряжений на единицу поверхности), заданных на части поверхности тела. Будем считать, что на той части поверхности тела, где не заданы поверхностные напряжения, задаются смещения (т. е. что эта последняя часть поверхности закреплена определенным образом). Произведем некоторое возможное перемещение, т. е. заменим и на на Мы считаем, что условия закрепления при этом не нарушаются, так что для всех точек закрепленной части границы должно быть Вычисляя работу заданных объемных и поверхностных сил на этих перемещениях, мы получаем:

где первый интеграл берется по всему объему деформированного тела, а второй должен быть взят только по той части поверхности, где ваданы внешние напряжения.

Сумма этих интегралов должна быть равна изменению энергии деформации. Полная энергия деформации равна

и ее вариация

Но ведь и значит

где суть напряжения в состоянии равновесия, удовлетворяющие уравнениям равновесия [§ 3, (4)]. Подставим в интеграл значения для

и упростим интеграл векторной "записью. Векторы напряжений:

были нами введены еще раньше. Введем еще векторы:

Тогда вариация энергии деформации запишется в виде:

Интегралы (11) можно преобразовать по формуле Гаусса. Имеем:

Далее, условие равновесия для напряжений, имеющих место в действительности, дает

Поэтому

В поверхностном интеграле, согласно граничному условию [§ 2(3)]

рассматривая аналогично и остальные интегралы, получаем:

Так как в тех местах, где заданы смещения то поверхностный интеграл распространяется только на те точки, в которых заданы поверхностные силы. Таким образом, мы доказали, что на виртуальных перемещениях, совместных с наложенными условиями закрепления, увеличение энергии деформации в точности равно работе внешних сил.

Этот результат обычно выражают в следующей форме: так как объемные и поверхностные силы нам заданы и не варьируются, то можно написать:

и поэтому уравнение (13) принимает вид:

Выражение, находящееся внутри скобок, называют потенциальной энергией всей системы; поэтому мы можем формулировать полученный результат в виде предложения:

Из всех возможных перемещений, удовлетворяющих условиям закрепления, осуществляются в действительности только те, при которых потенциальная энергия системы минимальная.

То, что мы в действительности имеем минимум [из уравнения (14) следует только стационарность], получается, если, не ограничившись первой вариацией энергии деформации, вычислить полное ее изменение.