§ 2. Парамагнитные тела в магнитном поло

1. Общая граничная задача.

Поместим тело с постоянной проницаемостью в заданное поле, созданное постоянными магнитами или токами. Каким образом это тело видоизменяет заданное поле? Этот вопрос особенно важен в случае тел с большим следовательно, например, в случае железных сердечников катушек.

Напряжение заданного магнитного поля пусть равно а искомое напряжение

причем внутренней областью мы будем считать пространство, занятое телом. Во внутренней и внешней области удовлетворяет дифференциальным уравнениям:

На границе обеих областей касательная составляющая следовательно, также и непрерывна; это условие можно рассматривать как обобщение уравнения (2). В то же время, в силу условия об отсутствии истинного магнетизма, нормальная составляющая индукции непрерывна, следовательно

где есть проницаемость внешнего пространства и верхний значок различает внутреннее и внешнее пространство. Подставляя сюда уравнение (1), мы получаем неоднородное условие для Б:

правая сторона которого представляет собой функцию значение которой на граничной поверхности определяется основным полем и которая удовлетворяет условию:

Поведение на бесконечности определяется из того соображения, что поле во всем пространстве (внутренняя и внешняя область, так же как и пограничная поверхность) не имеет источников. Отсюда следует, что не только но и остается конечным при бесконечно больших значениях

Эта задача решается однозначно. Действительно, мы удовлетворим поставленным условиям, если, в силу (2), выразим через две потенциальные функции и

При этом, вследствие непрерывности на пограничной поверхности, функция 9 также является непрерывной:

и согласно (4)

Далее, согласно (2), во внутренней и наружной области

и в бесконечности конечно.

Мы имеем здесь дело с общей граничной задачей теории потенциала. Эту задачу можно с помощью предположения о поверхностном заряде на пограничной поверхности (переменные интегрирования обозначаем через )

свести к интегральному уравнению. Здесь есть точка наблюдения, — переменные интегрирования. Для пограничной поверхности мы получаем

где

для точек наблюдения лежащих на самой поверхности.

Из уравнений (47) следует прежде всего равенство полного заряда нулю. Действительно, интегрируя (8) и принимая во внимание (4), мы получаем:

Но при определенном значении о, следовательно для источника, лежащего на самой поверхности, мы имеем, согласно (80:

Поэтому (9) дает после изменения порядка интегрирования:

а это и означает равенство нулю полного заряда.

В связи с доказанным равенством нулю полного заряда условие на бесконечности, которому должна удовлетворять функция оказывается выполненным. Для того чтобы доказать существование решения полной неоднородной задачи, нам остается установить, что соответствующая однородная граничная задача не имеет решения. Действительно, в случае однородной задачи условие (5) заменяется условием I

При этом мы получаем для внутренней области

Точно так же для внешней области :

Здесь последний (поверхностный) интеграл должен быть взят по пограничной поверхности и по границе внешнего пространства, образованной бесконечно большой сферической поверхностью. Но в силу доказанного поведения на бесконечности, эта последняя часть интеграла равна нулю.

Следовательно, складывая и принимая в расчет (5) и (11), мы получим:

Так как оба положительны, то отсюда следует, что везде должно равняться нулю, т. е. однородного решения не существует. Это и дает требуемое доказательство существования и однозначности решения неоднородной задачи.