§ 5. Поле призматических проводников

1. Применение метода Шварца.

Наиболее важным из методов конформного отображения, находящих себе применение в электротехнике, является метод Шварца и его обобщения. Мы можем его применить непосредственно к следующему случаю. Цилиндрический проводник, сечение которого представляет собой замкнутый многоугольник, заряжен определенным зарядом на единицу длины. Ищется распределение заряда и созданное им электрическое поле. При этом в качестве противоположного полюса, на котором кончаются силовые линии, исходящие из призмы, можно представить себе большой круговой цилиндр, охватывающий проводник.

Наиболее непосредственно можно применить здесь отображение Шварца в следующей форме: пусть число вершин многоугольника, лежащего в плоскости (рис. 72), равно а их внешние углы равны

Рис. 72.

Положительные значения означают выходящие углы многоугольника, а отрицательные значения — входящие углы. Так как многоугольник весь расположен в конечной части плоскости, то на основании теоремы о внешних углах, сумма углов равна Следовательно

Комплексные координаты вершин обозначим через

Этот многоугольник, лежащий в плоскости нужно теперь отобразить на единичную окружность в плоскости таким образом, чтобы внешняя область многоугольника однозначно соответствовала внешней области окружности, а бесконечно удаленная точка плоскости бесконечно удаленной точке плоскости Отсюда следует, что должно быть связано с разложением вида:

Искомая комплексная потенциальная функция принимает в таком елучае, на основании § 4, 3, вид:

где означает заданный заряд на единицу длины цилиндра, а произвольную постоянную. Действительно, эта функция обладает тем свойством, что ее мнимая часть принимает постоянное значение на окружности

следсвательно она постоянна в плоскости на многоугольнике, а из разложения (3) следует, что с точностью до аддитивной постоянной ведет себя при больших значениях как что соответствует заданному заряду на единицу длины цилиндра.

Комплексные значения которые функция принимает в вершинах многоугольника, мы можем написать в виде:

так как они должны лежать на единичной окружности плоскости

Сделаем теперь в плоскости обход по окружности, охватывающей единичную окружность и очень близкой к ней. В плоскости этому обходу соответствует обход по непрерывной линии, охватывающей многоугольпик и близкой к нему. Для того чтобы касательная к этой линии поворачивалась на угол вблизи вершины необходимо, чтобы в этой области дифференциал имел вид:

где означает аналитическую функцию, регулярную вблизи

С помощью аналогичных соображений, относящихся к другим вершннам, мы получаем:

где означает теперь аналитическую функцию, регулярную вдоль всей единичной окружности. Для больших значений разложение должно, на основании (3), иметь вид:

причем не имеет особых точек во всей внешней области. Если положить то, принимая в расчет (2), мы получим:

или, разлагая в ряд:

Для того чтобы это выражение совпадало с (8), необходимо, чтобы член с первой отрицательной степенью равнялся нулю, откуда для получается условие:

Это условие означает, что функция

не имеет на бесконечности логарифмического члена разложения, и, следовательно, остается однозначной при обходе вокруг многоугольника.

Мы получим связь между окружностью и многоугольником, если подставим сюда значение вдоль окружности, и заменим их значениями (5). Произведя простые преобразования и приняв в расчет (2), мы придем к простому выражению:

из которого сразу видно, что направление отображающей кривой поворачивается на заданный угол до при прохождении каждого из значений а в остальных местах она прямолинейна.

Функция (11) содержит комплексную постоянную а и комплексную постоянную интегрирования далее вещественных постоянных значения которых однако ограничены комплексным уравнением (10), эквивалентным двум вещественным условиям, так что окончательно остаются вещественные постоянные, которыми мы можем распоряжаться. Многоугольник характеризуется параметрами, из которых после вычитания независимых заданных углов остается параметр, определяющий эти постоянные. Одна постоянная остается неопределенной; это объясняется тем обстоятельством, что единичную окружность можно повернуть около самой себя на произвольный угол иначе говоря, все могут быть помножены на общий множитель

Из потенциальной функции (4)

следует, на основании уравнения (26) § 4, что плотность заряда на поверхности призмы по абсолютной величине равна

Так как отображение было произведено на единичную окружность, то имеет на поверхности абсолютное значение 1. Отсюда, в силу (9), получается выражение:

обращающееся в бесконечность во всех вершинах, для которых положительно, и обращающееся в во всех тех вершинах, где отрицательно. Это означает, что в выходящих вершинах плотность заряда бесконечна, а во входящих она равна 0. Первое явление называется в физике действием острия, а второе экранированием.

В качестве примера многоугольника возьмем квадрат со сторонами длины параллельными осям Из соображений симметрии молено заключить, что в этом случае значения также образуют вершины квадрата, вписанного в единичную окружность плоскости их можно положить равными корням четвертой степени из Так как углы квадрата прямые, то все Тогда, на основании (11)

В (4) сделаем произвольную постоянную равной 1, откуда так что окончательно:

Если проинтегрировать вдоль единичной окружности в плоскости то угол а сторона квадрата оказывается равной

Следовательно, постоянная а определяется длиной стороны выражение (14) представляет собой эллиптический интеграл, который можно выразить через полные эллиптические интегралы первого и второго рода (гармонический тип).