12. Геометрические свойства; слои тока.

Кинетическая энергия отдельной части жидкости может быть получена иным путем, чем энергия всего поля, а именно, путем использования геометрических свойств поля.

Рассмотрим поток, лишенный источников. Пусть два семейства поверхностей тока разбивают его на трубки тока с сечением, имеющим форму параллелограмма. Тогда скорость может быть представлена в виде

где х есть — пока — некоторая функция точки. Поток через каждое сечение такой трубки равен

Отсюда следует, что х есть величина постоянная вдоль каждой трубки тока. Надлежащим выбором обоих семейств поверхностей тока можно добиться того, чтобы стало постоянным во всем поле, так что можно будет положить

Таким образом

и

Предположим теперь, что поток имеет потенциал скоростей Если мы разобьем эквипотенциальными поверхностями трубки тока на отдельные ячейки, то кинетическая энергия каждой такой отдельной ячейки будет:

а между поперечным сечением ячейки ее длиной будет иметь место соотношение

Выберем эквипотенциальные поверхности так, чтобы разность потенциалов между каждыми двумя соседними из них была одинаковой, и расположим таким же образом, т. е. через равные интервалы поверхности тока Тогда все поле тока распадется на ячейки, для каждой из которых отношение величины поперечного сечения К длине будет иметь одно и то же значение и в каждой из которых кинетическая энергия жидкости также будет одинакова.

Аналогичная теорема имеет место и для вихревого движения; вместо эквипотенциальных поверхностей нужно брать там семейство поверхностей, не перпендикулярных к линиям тока.

Уравнение (35а) совместно с уравнением (55), 19, является основой теории движения слоев тока, которая была развита Мизесом и приобрела большое значение втеориитурбин.

Мы рассмотрим здесь лишь два простейших случая потенциального движения при наличии потенциала скоростей уравнение (35а) принимает вид

а) Возьмем в качестве поверхностей тока семейство плоскостей, параллельных плоскости Тогда из уравнения (36) следует для плоского движения

в согласии с уравнениями (6), 3 и (20), 6. Функции обе удовлетворяют уравнению Лапласа

Эквипотенциальные кривые и линии тока делят плоскость на бесконечно малые квадратики, причем жидкость, заключенная в каждом из этих квадратиков, имеет одинаковую кинетическую энергию.

b) Выбирая в качестве поверхностей тока пучок плоскостей, проходящим через ось мы получим течение жидкости, обладающее аксиальной симметрией. Введя цилиндрические координаты (расстояние от оси), е. прямоугольные координаты каждой из плоскостей пучка, мы будем иметь для составляющих скорости выражения:

Потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа, имеющему в цилиндрических координатах вид

а стоксова функция удовлетворяет уравнению

Эквипотенциальные кривые и линии тока делят плоский поток на прямоугольнички, о форме которых можно высказать следующую теорему. Отношение стороны прямоугольника, принадлежащей эквипотенциальной кривой, к стороне нрямоугольника, являющейся частью липии тока, пропорционально расстоянию от оси симметрии.

Эта теорема применялась для графического определения формы лопатов турбины. Наложение безвихревого вращательного движения вокруг оси не представляет принципиальных затруднений. Однако, движение слоев тока вдоль вращающихся лопаток турбины имеет более общий характер и не является, вообще говоря, безвихревым. Мизес установил дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет соответствующая функция тока в случае лопатки произвольно заданной формы; оно содержит как частный случай и не будет нами здесь приведено.

Отметим зато, что и вихревое аксиально-симметричное движение, для которого поверхностями тока служит пучок поверхностей, может бы представлено с помощью стоксовой функции тока совершенно так же, как и потенциальное

движение. Уравнения (39) остаются при этом в силе по отношению к функции тока; уравнения следует заменить уравнением

где есть произвольная функция от уравнение (57), 19 § 1].