3. Вырожденные системы.
Совсем иначе действует возмущение на траектории вырожденной системы. Предположим, что наша невозмущенная система с и степенями свободны 
-кратно вырождена в смысле гл. 
§ 6, 3, т. е. она периодична в точности 
-кратно, причем 
Введем переменные состояния, определенные в заключении гл. II, § 6, 3, несобственные угловые переменные 
затем собственные 
соответствующие переменные действия 
Тогда движение невозмущенной системы на основании гл. II, § 6, (15) определяется уравнениями:
где 
постоянные интегрирования и
Если теперь все траектории невозмущенной системы периодичны только 
-кратно, то величины 
вообще не содержатся в 
Если, наоборот, только та траектория, которая рассматривается как исходная траектория возмущения, вырождена в предположенной степени, то 
а следовательно, согласно (26), также 
зависят от 
и только при 
Если мы выразим возмущающую функцию 
определенную уравнением (15), в этих обозначениях, то сумма, стоящая в правой части, вполне может содержать члены, в которых коэффициенты 
всех собственных угловых переменных 
обращаются в нуль, т. е. члепы, которые, так же как и 
остаются постоянными при невозмущенном движении.
Поэтому мы вынесем эти члепы за знак суммирования и напишем:
В этой сумме уже не содержатся члены, в которых все 
к равны нулю. Если мы обозначим их для краткости через 
и положим:
то дифференциальные уравнения (16) возмущенного движения распадаются на две группы:
Если мы сделаем относительно величин 
предположения, аналогичные (4), причем в качестве невозмущенного движения 
положим в основу уравнения (25), то из (30) для первого приближения 
получается точно такой же вид (22), как и из уравнений (16). Действительно, коль скоро для и 
будут вставлены постоянные значения (нулевые приближения), уравнения 
и (16) имеют одинаковый вид. Следовательно, постоянные траектории 
изменяются в первом приближении опять только на периодические члены, под которыми подразумеваются теперь члены вида:
где 
остаются при движении постоянными. Среднее значение таких членов за приближенный период невозмущенного движения опять равно нулю.
Если мы, наоборот, в правую часть (31) вставим нулевое приближение (25), то члены, содержащие В, будут постоянны, члены, содержащие 
периодичны и интегрирование даст в первом приближении:
Следовательно, величины 
постоянные при невозмущепном движении, испытывают 
только периодические, по также и вековые возмущения. Эти возмущения происходят также только от первых членов в правой части (31). Поэтому 
называют вековой частью возмущающей функции.
Если мы вставим первые приближепия для 
в правые части уравнений (30), (31) и для этой системы уравнений найдем второе 
следующие приближения по тем же точно методам, как и в 2 для уравнений (16), то мы придем точно так же, как и там, к результату, что в разложениях величин 
если принять в расчет только члены, происходящие от производных функции 
входят только периодические члены или такие, которые хотя и пропорциональны 
но при этом оказываются помноженными по крайней мере на 
это означает, что члены, происходящие от V, ничего не прибавляют к вековым возмущениям величин 
Точно так же ничего 
прибавляют и те выражения, происходящие от В, в которые вместо величин 
вставлены невековые члены; при этом постоянные во времени члены все время причисляются к вековым. Если совокупность всех вековых членов мы обозначим 
и соответственно 
то на основании вышесказанного мы их получим и в том случае, если в системе (30), (31) все члены с 
совсем зачеркнем, а в В вместо 
вставим 
Следовательно, вековые возмущения являются решениями следующей системы дифференциальных уравнений:
Если мы будем искать такие решения этой системы уравнений, которые при 
сводятся к 
то из первых (а уравнений мы сразу получим 
т. е. величины 
остаются при вековом возмущении постоянными, Эти значения можно вставить в остальные уравнения, причем для вычисления вековых возмущений получается система из 
совокупных дифференциальных уравнений первого порядка относительно 
переменных 
Если мы в правые части везде подставим нулевое приближение, то, интегрируя, мы получим первое приближение:
в точности совпадающее с (32), если в нем опустить периодические члены и постоянные 
Сопоставляя все сказанное, можно сказать, что переменные действия 
соответствующие собственным угловым переменным, не испытывают вековых возмущений также и в случае вырожденных систем. Наоборот, несобственные угловые переменные 
и соответствующие им переменные действия испытывают вековые возмущения 
которые в первом приближении определяются уравнениями (34), в общем же случае удовлетворяют дифференциальным уравнениям (33).
