3. Эллипсоид в однородном поле.

Общая граничная задача § 2 поддается решению только в немногих случаях. Для применений важно то обстоятельство, что в число этих случаев входит задача об эллипсоиде (пара- или диамагнитном) в первоначально однородном поле, так как это дает возможность представить себе соотношения в случае тел, имеющих сходный вид. Эллипсоид имеет свойство, общее с изученной в § 2 сферой, заключающееся в том, что добавочное поле внутри него однородно, если ссновное поле внутри него было однородно. Чтобы убедиться в этом, дадим сначала общее выражение добавочного поля с потенциалом если основное поле имело потенциал Добавочное поле кроме общих потенциальных уравнений, определяется пограничными условиями (5) и (11) § 2 на пограничной поверхности:

Эти условия (20) и (21) можно истолковать таким образом, что потенциальная функция создается неизвестным зарядом, распределенным на поверхности о тела с плотностью

При этом, если обозначить через внешнюю нормаль в точке интегрирования, мы получаем для потенциала выражение:

Так как то этот интеграл можно, на основании теоремы Грина, преобразовать в объемный интеграл

( обозначает производную по координатам точки интегрирования ).

Спрашивается, при каких условиях это добавочное поле а следовательно, также и результирующее поле является однородным внутри тела. В этом случае должно представлять собой линейную функцию координат, следовательно, должен быть постоянным. Поэтому мы получаем из (23):

Чтобы еще более упростить последний интеграл, выделим из объема V тела объем шара К с центром в точке лежащего целиком внутри объема Для этой части объема мы имеем, по соображениям симметрии:

Остальную часть, в силу равенств

можно заменить интегралом

следовательно

Для того чтобы было также линейной функцией, когда имеет постоянное значение, необходимо, чтобы потенциал объема тела

представлял собою внутри тела квадратичную функцию переменных Это условие выполнено в том случае, когда тело представляет собой эллипсоид. Действительно, для эллипсоида, отнесенного в главным осям и определяемого уравнением:

имеет место соотношение:

где постоянные имеют следующие значения:

Пусть положенное в основу однородное поле определяется потенциалом

далее, согласно требованию однородности, положим

В таком случае

а следовательно, по (25)

Таким образом

и для результирующего поля

Если вставить эти значения для в выражение (3) добавочного потенциала, то поверхностный интеграл принимает следующий вид:

Мы видели, что форма (27) потенциала и вытекающая из нее форма (29) искомого решения суть необходимые условия требуемой однородности поля Нам нужно показать, что они также достаточны, чтобы действительно удовлетворить всем условиям задачи.

То обстоятельство, что удовлетворяет потенциальному уравнению, а также условию непрерывности (20), вытекает из его выражения с помощью поверхностного распределения заряда; то же можно сказать об условии на бесконечности, так как интеграл по поверхностному распределению зарядов равен нулю вследствие соотношений

Остается установить, выполняется ли пограничное условие (21). Для этой цели обозначим заданные функции следующим образом:

Тогда из (29) следует, в связи с условиями прерывности для поверхностного заряда равенство:

и для того, чтобы было удовлетворено пограничное условие (21), необходимо, чтобы из (29) и (27) получалось соотношение:

Но так как есть постоянный вектор, то из формулы (29) вытекает с помощью такого же преобразования, как то, которое вело от (24) к (25), соотношение:

откуда

Следовательно, принимая в расчет (30),

что и требовалось доказать. Таким образом мы установили, что все условия задачи удовлетворяются решением (29).