§ 3. Частные задачи и методы
а) ПЛОСКОЕ ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
1. Комплексный потенциал.
Составляющие 
скорости плоского потока могут быть всегда представлены как частные производные некоторой функции тока 
Если же движение, за исключением разве отдельных особенностей, безвихревое, то 
могут быть еще представлены и как частные производные потенциала скоростей 
В этом случае мы имеем, согласно уравнениям (6), 3 § 1 и (20), 6 § 1.
Обе функции 
удовлетворяют уравнению Лапласа И являются, как это видно из (1), сопряженными в смысле условий Коши-Римана. Они могут быть, следовательно, представлены как вещественная и мнимая части комплексного потенциала, т. е. некоторой комплексной функции со (которую мы выше в 6, § 1, обозначили через 
от комплексного переменного
так что:
Из этого уравнения видно, что поток в плоскости 
конформно отображается на плоскость со 
так что эквипотенциальные линии и линии тока в плоскости 
переходят в плоскости 
в прямые 
параллельные осям координат. Вообще, если ввести новую комплексную переменную 
представляющую функцию от старой переменной 
то получится новое потенциальноь движение, связанное со старым посредством конформного отображения. Так например, подстановка
дает инверсию [отражение в единичном круге, соединенное с отражением 
, вещественной оси (рис. 35)].
Из (2) следует:
Называя
комплексной скоростью, мы видим, что
есть также функция комплексной переменной, дающая отображение поля скоростей 
называемого иногда годографической плоскостью, на плоскость 
Для многих целей удобнее рассматривать не «в как функцию от 
как функцию от 
Рис. 35.
Мы получаем тогда обратные формулы:
в которых составляющие скорости 
и ее величина 
являются функциями от 
Отсюда можно, согласно (3), вернуться при помощи одной квадратуры; к независимым переменным 
Комплексный потенциал потока, регулярного вбливи начала; координат, может быть равложен в ряд по возрастающим степеням 
Вещественная часть этого ряда есть разложение потенциала скоростей в ряд по гармоническим полиномам. Движение, регулярное на бесконечности (скорость, на бесконечности равна нулю), приводит к ряду, расположенному по убывающим степеням 
Простейшим особенным точкам соответствуют следующие комплексные потенциалы и связанные с ними величины,
а) Поле вихревой точки:
интенсивность вихря, 
момент вихря или циркуляция), 
b) Поле точечного источника:
интенсивность источника, 
ноток черев замкнутую кривую, окружающую источник),
c) Поле двойного источника (диноля):
момент двойного источника; а — угол между его осью и осью 
(ср. с уравнением (15), 4 § 2]. Комплексный потенциал кратных источников (мульти-иолей) выражается черев более высокие отрицательные степени 
Посредством инверсии можно 
ноля двойного источника получить поступательный поток с постоянной скоростью:
Это движение можно, следовательно, рассматривать как вызванное бесконечно удаленным диполем. Инверсия мультиполей приводит к движениям с бесконечно большими скоростями на бесконечности.
