5. Анализ комплексных решений общего типа.

На частном примере однородных решений нулевого порядка мы изучили все наиболее характерные свойства комплексных решений вообще. Рассмотрим теперь такие решения в самом общем виде.

Для простоты мы предположим, что нами выбрана комплексная переменная С, определенная уравнением:

Как мы выяснили ранее, наше предположение не огранизивает общности задачи.

Параллельно с уравнением (41), рассмотрим соответствующее ему однородное уравнение:

Мы видели, что комплексному значению лежащему внутри круга единичного радиуса, отвечает некоторый луч в пространстве Уравнение этого луча можно получить непосредственно, подставляя в уравнение (42) наше значение Принимая во внимание, что вещественны, и разделяя в этом

равенстве вещественную и мнимую части, мы получим два линейных соотношения между которые и дадут уравнение нашего луча.

Тот же самый луч получится, если мы вместо внутри единичного круга, подставим значение, симметричное с ним относительно этого круга.

Аналогично, если мы подставим теперь в уравнение (41) вместо С некоторое комплексное число, лежащее внутри круга единичного радиуса, мы получим, разделяя вещественную и мнимую части, два линейных соотношения между координатами, определяющих прямую линию. Очевидно, что эта прямая будет параллельна соответствующему лучу, получаемому при подстановке в (42) того же значения Таким образом, вид функции совершенно не влияет на направление луча, которое определяется однозначно заданием С. Так как мы изучили зависимость между ними для то мы знаем эту зависимость для всякого

Если мы, в соответствии с уравнением (41), построим сопряженное с ним уравнение:

в котором функция сопряжена с относительно круга единичного радиуса, то значению С в (41), сопряженному со значением С в уравнении (41) относительно круга единичного радиуса, отвечает тот же самый луч.

Действительно, при подстановке в функции значений, сопряженных относительно окружности, мы получим значения, сопряженные относительно вещественной оси. То же самое относится и к выражениям:

Отсюда видно, что уравнения (41) и (41), при сопряженных относительно круга значениях удовлетворяются одними и теми же значениями вещественных координат

Совокупности лучей, соответствующих значениям С внутри круга единичного радиуса, отвечает некоторая область пространства аналогичная области (5).

Внутри этой области мы получим вещественные решения волнового уравнения в виде:

где произвольная функция, регулярная в круге, а функция, сопряженная с относительно круга единичного радиуса.

Значению равному по модулю единице, соответствует в уравнепии (42) не один луч, а две полуплоскости, касательные конусу которых одна отвечает другая Обе эти полуплоскости вместе составляют одну касательную плоскость к конусу. Уравнение этой плоскости можно опять получить непосредственно, подставляя в (42) выбранное значение лежащее на круге единичного радиуса.

Если мы подставим теперь в (41) вместо С то же самое значение, то при условии, что для этого значения функция вещественна, мы получим опять уравнение плоскости, которая будет параллельна прежней. Если комплексно, то мы получим не плоскость, а бесконечно удаленную прямую.

Таким образом, значениям С, лежащим на круге единичного радиуса, для промежутков, где вещественно, отвечает система плоскостей

параллельных образующим конуса (8). Та же система плоскостей получается и при подстановке тех же значений С в уравнение (42).

Заметим, что если функция имеет промежуток вещественности на круге единичного радиуса, то, по принципу симметрии Шварца, мы можем утверждать, что является просто аналитическим продолжением и уравнение (42) совпадает с (42).

Система плоскостей огибает, вообще говоря, некоторую линейчатую поверхность, которая является границей области, занятой прямыми, соответствующими комплексным значениям С. Эта поверхность обращена вогнутостью в область комплексного С.

Действительно, вообще говоря, на каждой такой плоскости, соответствующей параметру С на окружности будет находиться прямая, являющаяся предельной для тех прямых, которые отвечают комплексным значениям С, стремящимся иэнутри к предельному значению С на окружности.

В случае однородных решений, эта прямая являлась образующей конуса (8).

Вся остальная плоскость будет, очевидно, вообще говоря, вне области комплексности С.

Поверхность огибающая семейство будет, как легко видеть, характеристикой волнового уравнения.

Действительно, уравнение этой огибающей получится путем исключения С из уравнений:

которые можно рассматривать, как параметрическое задание через и 0. Решая эти уравнения относительно х и у, получим уравнение поверхности в виде:

Отсюда можно вычислить непосредственно с помощью известных формул дифференциальной геометрии.

Мы будем иметь:

Из (47) нопосредственпо следует (37); следовательно наше утверждение доказано.

Во внешности поверхности в некоторой близости от нее, через всякую точку пространства можно провести две касательных плоскости к

Эти касательные плоскости, как мы видели, обладают тем свойством, что на каждой из них сохраняет постоянное значение некоторый корень уравнения (41).

Две касательные плоскости соответствуют тому, что в этой области мы будем, вообще говоря, иметь два различных корня уравнения (41), которые будут стремиться слиться в один двойной корень, при приближении к Прямая, вдоль которой касательная плоскость касается разделяет эту плоскость на две половины, каждая из которых отвечает одному из корней. Таким образом, во внешности мы будем иметь формулу, аналогичную старой:

которая получается наложением решений, соответствующих двум корням уравнения (41).

Поверхность опять, вообще говоря, будет служить поверхностью сильных разрывов, как для внутреннего, так и для внешнего решения. Это легко видеть из тех соображений, что нроизводные от по нормали будут обращаться в бесконечность. Действительно, так как уравнение (41) при этом приобретает кратный корень, то обратно и обращаются, вообще говоря, в пуль.