13. Давление в потоке.

Реактивное давление, оказываемое жидкостью на погруженное в нее тело, многократно исследовалось еще с первых шагов гидродинамики. Тот факт, что шар или круговой цилиндр, находящийся в идущем из бесконечности (поступательном) потоке жидкости, не должен (в случае идеальной жидкости) испытывать со стороны последней никакого давления, известен под именем парадокса Даламбера или парадокса Дирихле. Уравнения гидродинамики дают движение, симметричное относительно передней и задней частей погруженного в жидкость шара или цилийдра: отсюда следует, что результирующее давление потока обращается в нуль. Вследствие трения, действующего в пограничном слое жидкости у поверхности погруженного тела и вследствие вызванного этим трением отрывания вихревых слоев, движение жидкости, имеющее место в действительности, будет с задней стороны тела другим, чем это дает нам теория идеальной жидкости.

Положим, нам задан произвольный поток, ограниченный замкнутой поверхностью и заполняющий внутреннюю или внешнюю часть пространства (в последнем случае он распространяется до бесконечности). Вопрос о силах давления потока на поверхность относится к теории идеальной жидкости. Для выяснения этого вопроса мы можем тогда взять известное уже нам выражение [уравнение (42), 14, § 11:

для силы реактивного давления жидкости на твердую границу и преобразовать его с помощью уравнения Бернулли (32а), 12 § 1 следующим образом а):

Сделанное здесь предположение о том, что постоянная С уравнения Бернулли одинакова на всей поверхности не исключает существования источников и вихрей внутри жидкости. Вообще говоря, здесь исключен только тот случай, когда особенные точки имеются на самой поверхности. Важный для применений случай, когда из поверхности исходят вихревые линии, совпадающие с линиями тока, таким образом, не исключается.

Второй интеграл в выражении (41) обращается в нуль. Преобразуя первый интеграл в объемный, распространенный по заполненной потоком области получаем

С помощью известного векторного преобразования мы получаем следующее окончательное выражение для оилы реактивного давления

Это уравнение справедливо [для жидкости, заполняющее область внутри или же внешнюю относительно область А, идущую до бесконечности; последнее, если на бесконечности жидкость покоится. Если же жидкость заполняет внешнюю часть пространства и на бесконечности ее скорость равна то в выражении для силы реактивного давления появляется еще добавочный член»

Здесь последний интеграл берется по всему бесконечному пространству.

Уравнения (42а, b) дают нам силу реактивного давления в функции от особенностей поля (источников и вихрей) и от скорости в тех точках, где имеются эти особенности, причем не требуется внания скорости на самой поверхности. Скорость в точках, где имеются источники и вихри, зависит не только от этих источников и вихрей, которые предполагаются заданными, но и от формы поверхности Только таким, не прямым, путем входит форма поверхности в выражение для силы реактивного давления. Следует помнить, что для определения приходится решать граничную задачу второго рода, причем, в случае не только для внешней, но и для внутренней части пространства, так как последний интеграл распространен на все пространство

Таким же путем, как и силу реактивного давления можно определить и ее момент тем самым, линию приложения этой силы. При этом получаются следующие две формулы для момента сил:

Эти формулы применимы в тех же случаях, что и соответственные формулы (42а) и (42b) для силы; обозначает в них радиус-вектор.

В простейшем случае поступательного движения жидкости, лишенного особенных точек, в формулах остаются только добавочные интегралы, распространенные по внутреннему пространству. Легко видеть, что добавочный интеграл т. е. сила реактивного давления, обращается в нуль: тем самым парадокс Даламбера доказан в самом общем виде. Реактивный момент сил для тела произвольной формы, вообще говоря, отличен от нуля и зависит от величины направления скорости на бесконечности; только для трех определенных, взаимно перпендикулярных направлений этой скорости он обращается в