4. Волны Рэлея.

Для того чтобы закончить наш анализ, нам остается еще попытаться определить возможность такого решения уравнений упругости с граничными условиями, в котором как продольное, так и поперечное возмущения будут комплексными примитивными волнами.

Эти решения получаются, как из формул (16), так и из формул (17), причем результаты, даваемые теми и другими, сводятся к одному и тому же.

При вообще говоря, ни те ни другие формулы не дают никаких решений кроме тривиальных. Действительно, вследствие того, что аргументы у функций и для мнимых значений радикалов при положительных попадают и в верхнюю и в нижнюю полуплоскости, мы должны считать эти функции ограниченными на всей плоскости комплексного переменного, каковым является третий аргумент. При этом, по теореме Лиувилля, эти функции вообще не зависят от третьего аргумента, то есть дают решение статической задачи, которое не представляет интереса.

Однако, если коэффициент при нервом слагаемом в выражении для о в формулах (16) или коэффициенты при первых слагаемых в выражениях для и в формулах (17) обращаются в пуль, то значения третьего аргумента для положительных во всех неравных нулю членах будут лежать только в одной полуплоскости комплексной переменной, и мы сможем удовлетворить всем условиям задачи функциями, неравными тождественно постоянной.

Этот первый коэффициент совпадает с левой частью разобранного нами

уравнения Рэлея [см. уравнение (71) § 1], если заменить в нем через Корнями этого уравнения будут служить очевидно

Решения, полученные из формул (16) и (17), при носят название воли Рэлея. Существование таких волн было обнаружено сначала на частных примерах.

Простейшие такие примеры легко указать. Пусть в формуле (16)

где через обозначены полярные координаты плоскости. Подставляя это выражение в формулу (16), получим:

Формулы (20) дают рэлеевские волны, распространяющееся от точечного (линейного) источника Если бы мы вместо ганкелевской функции взяли функцию Бесселя, то мы получили бы так называемою стоячую волну Рэлея.