3. Соответствующие канонические перепенные.

В некоторых случаях оказывается более удобным вводить в ур-ния (15), (16), (17) вместо функции зависящей от старых и новых координат, функцию зависящую от старых координат положения и новых импульсов

Чтобы перейти к этой новой функции, воспользуемся тождеством

и перепишем ур-ние (15) в следующем виде:

Так как в правой части (26) величины могут быть выражены череа свои значения (22), то, введя обозначение

мы можем написать условие (15) для касательного преобразования также в виде:

При этом точно так же как ранее может быть любой функцией своих аргументов. Сравнивая коэффициенты при дифференциалах в обеих частях (28), мы получим уравнения преобразования, аналогичные (16), (17):

Все дальнейшие выводы для смешанного эйконала остаются такими же, как и для точечного эйконала. Из требования следует, что дифференциальное уравнение Гамильтона-Якоби остается справедливым и для смешанного эйконала:

а из инвариантности канонической формы уравнений движения вытекает, что величины должны быть постоянными во время движения. Мы можем найти величины как функции постоянных интегрирования и времени решая опять ур-ния (29).

Попытаемся определить теперь в (29) таким образом, чтобы, величина была функцией одних т. е. чтобы она не зависела от Получающуюся таким образом функцию мы обозначим черев Е:

Величины называются каноническими переменными, "соответствующими" функции Гамильтона В случае механической системы, благодаря соотношению энергию можно при этом выразить как функцию от одних только Ур-ния (12) принимают тогда вид (здесь

Эту систему уравнений можно непосредственно проинтегрировать. Первый интеграл дает:

где произвольные постоянные, число которых равно . Решая ур-ния (33) относительно мы найдем, что они являются функциями от произвольных постоянных т. е. представляют собой полную систему решений вида § 2 (58).

Таким образом требуется только найти касательное преобразование, из которого вытекало бы ур-ние (31). В наших обозначениях задача заключается в нахождении такой функции чтобы преобразование (29) приводило к ур-нию (31). Подставляя эту функцию в последнее ур-ние (29), мы получим:

Если в частности время явно не входит в II, то мы можем написать в виде:

(т. е. без Тогда из (34), (35) получается для следующее дифференциальное уравнение:

и в силу (29), (35):

Ур-ние (36) называется дифференциальным уравнением Гамильтона-Якоби в частных производных, независящим от времени. Легко видеть, что выражение

где удовлетворяет ур-нию (36), является решением (30).