4. Сечение, ограниченное многоугольником. Применение метода теории функций комплексной переменной.

Решение граничной задачи кручения для поперечного сечения, имеющего вид прямолинейного многоугольника, получается с помощью применения метода конформного отображения. Заметим прежде всего, что и здесь граничное условие может быть значительно упрощено, если наряду с функцией ввести ее вторую производную но Положим

Полагая далее

получаем:

Скалывающие напряжения при этих обозначениях равны

Рассмотрим сторону многоугольника. Обозначим через Угол между этой стороной и осью х, и через элемент длины этой стороны. Тогда, двукратное дифференцирование граничного условия по I дает:

но

Здесь

Отсюда получаем:

Это есть уравнение (в плоскости ) прямой, находящейся на расстоянии 1 от начала координат и образующей с осью

Рис. 12.

Если поэтому мы рассмотрим конформное отображение, осуществляемое функцией приводящее в соответствие каждой точке плоскости толку плоскости то как вто следует из (42), при втом отображении сторона многоугольник ограничивающего сечение, перейдет в отрезок прямой на плоскости Следовательно, заданное поперечное сечение преобразуется опять-таки в некоторый многоугольник. Стороны заданного поперечного сечени образуют с осью х углы Стороны его изображения в плоскости образуют углы с осью Если поэтому внутренние углы данного многоугольника суть то внутренние углы изобр? гения получаются из них о помощью соотношения:

где оуть некоторые целые числа.

Мы, таким образом, свели нашу задачу к вадаче отображения некоторое многоугольника в плоскости осу с углами на другой многоугольник в плоскости с углами описанный около единичного круга так, чтобы вершинь углов одного многоугольника соответствовали вершинам другого.

Конечно, вообще говоря, два многоугольника не могут быть отображены друг на друге так, чтобы вершины одного соответствовали вершинам другого. Но в нашем случае это возможно сделать потому, что мы имеем право ввести

в плоскости надлежащее число так расположенных точек разветвления, чтобы вышеуказанное условие выполнялось.

Наша задача отображения решается с помощью отображения плоскостей на плоскость вспомогательной комплексной переменной так, чтобы оба многоугольника преобразовывались в верхнюю полуплоскость С. Выберем наши координаты так, чтобы вершина поперечного сечения в плоскости совпадала с началом координат, а сторона (от -й вершины до ) с осью х (см. рис. 12). Тогда угол между стороной и осью х

Началу координат плоскости пусть соответствует на плоскости С бесконечно удаленная точка Вершинам нашего поперечного сечения в плоскости пусть соответствуют точки Такое отображение плоскости на плоскость С производится, согласно формуле Шварца-Бристоффеля, с помощью интеграла:

Здесь показатели х определяются по внутренним углам поперечного сечения:

Переходя теперь к отображению многоугольника плоскости на плоскость С, вепомним, что вершины его должны соответствовать вершинам поперечного сечения и, следовательно, при отображении на плоскость С, тем же точкам

Связь между плоскостями и С дается интегралом вида (45), только в несколько более общей форме. Вместо показателей в знаменателе теперь будут стоять показатели:

Кроме того, в плоскости могут существовать разветвления. Учитывая это обстоятельство, введем в нодинтегральное выражение еще целую рациональную функцию с вещественными коэффициентами, корни которой соответствуют точкам разветвления. Положим, следовательно:

В том, что коэффициенты полинома должны быть вещественными, можно убедиться следующим образом. Точки С, в которых соответствуют точкам резветвления плоскости Если теперь зеркально отразить многоугольник плоскости относительно стороны, и в соответствии с эгии верхнюю полуплоскость С относительно отрезка то отражение С точки С должно

опять соответствовать некоторой точке разветвления плоскости Значит будем также иметь и значит имеет вещественные коэффициенты

Докажем теперь, что выражение (48) действительно дает решение нашей задачи. Для этого рассмотрим Отрезок оси, соответствующий стороне многоугольника. По (42) здесь:

Это равенство можно записать в виде:

Дифференцируя, получаем:

Дифференцируя (48), имеем

Числитель этого выражения вещественный, так как суть целые числа и вещественно. В произведении, стоящем в знаменателе, вещественны те множители, в которых т. е. от до В множителях от до всюду Мы получаем, следовательно, если обозначить совокупность вещественных величин одной буквой

Остается доказать, что множитель равен

Так как х, есть угол между стороной многоугольника и осью х, то

и суммируя от до

Так как

что и требовалось доказать.

В выражении (48) остались еще неопределенными показатели и целая рациональная функция Мы докажем сначала, что показатели не могут быть отрицательными. Это следует из физического требования конечности энергии

деформации. Энергия деформации на единицу длины стержня и на единицу площади поперечного сечения равна:

Для того чтобы полная энергия оставалась конечной, интеграл должен сходиться и, следовательно, не должно возрастать быстрее, чем когда мы приближаемся к вершине.

Вводя обозначение здесь уже не является третьей пространственной координатой), мы имеем вблизи от вершины

где суть некоторые постоянные, которые мы не определяем более подробно. Следовательно:

и после интегрирования:

Для того чтобы показатель был больше, чем должно быть:

или

Так как лежит всегда между , то целое число должно удовлетворять условию

Объединяя положительные степени с функцией мы получаем:

Аналогичные рассуждения позволяют нам оценить степень Рассмотрим для этого точку Производя аналогичным образом вычисления и обозначая степень В черев получаем:

Тем самым полное решение может быть представлено в параметрической форме:

где все вещественны.

В каждом отдельном случае необходимо еще определить коэффициенты показали пока только то, что на сторонах многоугольника следовательно, Коэффициенты должны быть так определены, чтобы эта последняя постоянная на всех сторонах многоугольника равнялась единице.

Покажем теперь, что число коэффициентов и постоянных интегрирования (комплексная постоянная считается за две вещественных) как раз достаточно для того, чтобы удовлетворить граничным условиям. Если на каждой стороне многоугольника то тем самым если, кроме того, в каждой вершине то граничные условия будут выполнены повсюду.

Эти условий на сторонах и условий в вершинах дают совместно условий, для выполнения которых у нас имеется в распоряжении как раз необходимое число постоянных, а именно:

Простейшим примером, который впрочем может быть легко получен и при помощи полуобратного метода, является равносторонний треугольник. В этом случае равно 3, и поэтому приводится к постоянной; углы и поэтому

Интегралы при этом получаются такие:

Отсюда

Обе постоянные определяются из условия, что на сторонах На положение координатной системы при этом не наложено никаких ограничений. Мы расположим данный треугольник (сечение) так, чтобы он был вписан в некоторый круг радиуса с центром в начале координат и чтобы третья сторона треугольника была параллельна координатной оси пусть эта сторона будет расположена на прямой При таком выборе координатной системы постоянная интегрирования пропадает и, как легко убедиться, Значит

откуда, интегрируя, получаем:

Постоянная интегрирования отпадает, так как в центре тяжести треугольника, в силу симметрии, напряжение равно нулю. Интегрируя еще раз, мы получаем выражение

мнимая часть которого

Для определения постоянной потребуем чтобы в середине третьей стороны при

отсюда

и следовательно:

Напряжения оказываются равными:

Наибольшее напряжение получается в серединах сторон, где

Крутящий момент вычисляется по формуле

где есть длина стороны треугольника.