3. Однородная вспомогательная задача.

Чтобы решить эту неоднородную задачу, будем исходить из однородной задачи об электростатическом распределении зарядов на круглой пластинке с радиусом и об определении соответствующего электростатического поля. Потенциальную функцию, соответствующую этому однородному решению, мы обозначим через или короче Мы найдем ее о помощью введения соответствующей системы ортогональных координат, в качестве которых мы выберем эллиптические.

Криволинейные координаты, которые мы обозначим через можно ввести о помощью подстановки

Поверхности

представляют собой поверхности вращения софокусных эллипсов с фокусным расстоянием, и ооью При значении параметра поверхность вращения вырождается в поверхность, образованную обеими сторонами круглой пластинки радиуса Поверхности же

представляют собой поверхности вращения соответствующих софокусных гипербол. При эти поверхности вырождаются в поверхность, образованную обеими сторонами области плоскости а при в ось Следовательно, координатная область заполняет полупространство положительных а при изменении знака — также и область отрицательных

В новых координатах элемент длины имеет вид:

следовательно, дифференциальный оператор Дополучает вид.

Будем искать решения уравнения обладающие вращательной симметрией и, следовательно, не зависящие от Их можно представить как сумму произведений вида:

где для получаются из (16) уравнения:

Функции определенные уравнением (17), представляют собой шаровые функции переменной а функции определенные уравнением (17), представляют собой шаровые функции неременной причем они должны быть регулярны для значений о, заключающихся между нулем и бесконечностью, вдоль всей оси мнимых В этой области достаточно рассматривать только шаровые функции второго, рода, так как шаровые функции первого рода при увеличении аргумента возрастают до бесконечности, в то время как функции второго рода уменьшаются до пуля; в этом можно убедиться, если разложить решения уравнения (17 ) при больших значениях в степенной ряд.

Искомое решение нашей однородной задачи должно быть постоянным на поверхности круглой пластинки следовательно, не должно зависеть от Поэтому надо принять тогда мы получаем из (11) с точностью до произвольного постоянного множителя:

Постоянное значение этой функции на поверхности пластинки равно . Решая уравнение (14), можно опять ввести переменные причем после несложных преобразований получается результат:

Последнее уравнение показывает, что при больших значениях и функция приближается в виду она предотавляет собой поэтому потенциал круглой пластинки радиуса полный заряд которой равен Из постоянного значения потенциала при и варяда получается емкость круглого диска, равная

Так как эквипотенциальные поверхности представляют ообой, соглаоно уравнению (14), укороченные эллипсоиды вращения, то мы решили электростатическую задачу также и для них (см. также гл. XV, § 2, 2). Для удлиненного эллипсоида вращения можно аналогично ввести эллиптические координаты, переставляя в формулах подстановки (13) переменные и я; при этом мы найдем решения аналогичным образом.