3. Различные виды траекторий.

Если у нас имеется решение уравнений (13), т. е. нам известна геометрическая форма траекторий, то, согласно (8) и (7), можно вычислить а согласно § 2 (40), также и к вдоль нее; следовательно, согласно (10), можно вычислить значение живой силы и ее изменение в течение движения. Действительно, если К дано как функция от и, то, согласно § 2 (33), можно посредством квадратуры вычислить соотношения Следовательно, вообще говоря, вдоль некоторой траектории возможно только одно движение с однозначно определенной живой силой, т. е. траектория может быть пройдена лишь двумя различными способами, которые получаются один из другого изменением направления скорости; действительно, извлекая квадратный корень, мы получаем при одном и том же К два значения так как

Значение К будет неопределенным только в том случае, если вдоль траектории имеют место равенства Такая траектория может быть пройдена бесчисленным множеством способов. Она представляет собой "геодезическую" траекторию, которая кроме того удовлетворяет и дифференциальным уравнениям 1-го порядка случае, рассмотренном в 1, это есть прямая линия, которая в то же время является силовой линией. При наклонном бросании, например вдоль каждой параболы, скорость (о точностью до направления) определена однозначно; но вдоль вертикальной прямой бросание может совершаться с любой скоростью. В случае движения планет скорость определена вдоль любой эллиптической орбиты, тогда как вдоль прямых, ведущих к притягивающему центру, возможны движения с любыми скоростями. Так как живая сила положительна, то движение может иметь место только вдоль таких траекторий или частей траекторий, вдоль которых частное - положительно. Если это имеет место вдоль отрезка траектории, то этот отрезок ограничивается точками, в которых Согласно уравнению (7), это может произойти в двух различных случаях: либо в этой точке обращаются в пуль также и все либо "все Р" во не все В первом случае эта точка представляет собой положение равновесия системы. Так как в этой точке в силу уравнения

функция обращается в нуль, то в силу уравнения (11), по которому обращается в нуль также и мы имеем дело с кратным корнем. Если же, наоборот, в нуль обращаются все но не все то, согласно (7), сумма также не равна нулю, и поэтому в силу уравнения (11) эта точка представляет простой корень функции

Поведение системы вблизи такой "точки остановки", как назвал ее Пенлеве вследствие обращения в нуль живой силы, можно исследовать, если воспользоваться дифференциальным уравнением

которое определяет изменение параметра со временем, если выбрать и таким образом, чтобы где к определяется § 2 (40), и поэтому в простейшем случае и означает длину дуги. Пусть есть то значение параметра, которое соответствует точке остановки; предположим, что в этом месте можно разложить в степенной ряд. Если представляет собой -кратный корень функции К, то это разложение имеет вид:

Из уравнений (14) и (15) следует

В случае простого корня интегрирование дает:

и после возведения в квадрат:

Решение этого уравнения дает для ряд, расположенный по степеням который начинается с первой степени этого выражения. Следовательно, точка остановки действительно достигается в момент времени Вблизи этого момента времени тем значениям которые отличаются только иаком, соответствует одно и то же значение и. Следовательно, система движется к точке остановки, меняет там направление, и проходит те же положения еще раз с обратным направлением скорости. Точка остановки есть точка возврата.

Если имеет два простых корня, между которыми заключаются начальные значения параметра и, то система движется периодически.

Если двукратный корень, т. е. точка остановки есть положение равновесия системы, то в уравнении (15) нужно положить и тогда интег жирование уравнения (16) дает:

Следовательно, точка остановки никогда не будет достигнута за конечный промежуток времени, так как соответствует значение То же самое имеет место при Следовательно, к точке остановки, которая является положением равновесия, система приближается асимптотически, никогда не достигая ее.