4. Связь между напряжениями и скоростью деформаций.

Проведем через произвольную точку внутри жидкости площадку с нормалью Уравнение которое определяет силу действующую на имеет тот же вид, как и то уравнение, с помощью которого устанавливается понятие тензора. Поэтому векторы определяют некоторый тензор, тензор напряжений, компоненты которого мы обозначим через Если обозначить, далее, составляющие вектора через то уравнение (1) примет

причем обозначает составляющую вектора Величины меняются, вообще говоря, от точки к точке и зависят также от времени. Тензор скорости деформации имеет матрицу:

В нашем сокращенном способе написания компоненты тензора скорости деформации будут

Как именно тензор напряжений зависит от давления и от скорости деформации, мы для частных случаев уже видели [уравнения (2) и (3)]. Найдем теперь общий физический закон, который заключал бы в себе эти частные случаи. Этот вакон не может зависеть от положения координатной системы, так как положение координатной системы не имеет физического значения. Система координат вводится только для облегчения математических вычислений. Так как тензоры имеют физическое значение независимо от выбора системы координат, то искомый закон должен иметь форму уравнения между тензорами. Простейшее предположение, которое мы можем сделать, следующее:

В самой деле, эти уравнения показывают, что такое же соотношение будет иметь место между самими тензорами:

где есть единичный тензор. Верно также обратное. Отсюда следует, что уравнения (4) сохраняют свой вид, если тензоры будут разложены на компоненты по отношению к какой-нибудь другой системе координат. Попутно заметим, что это можно было бы доказать с помощью формул (6), стр. 228 и (15), стр. 233, так как уравнения (15) будут справедливы и для жидкости, если только считать в них составляющими скорости, а не смещения.

В том, что уравнение (3) содержится в (4) как частный случай, можно убедиться, расположив координатные оси так, чтобы производные и т. д. были равны нулю, кроме Мы покажем теперь, Что уравнение (4) содержит как частный случай также и уравнение (2). Написанное со значками, уравнение (2) будет: или по (1а) и по определению единичного тензора

В статическом случае тензор скорости деформации равен нулю. Тогда последний член в (4) выпадает. Поэтому уравнение (4) содержит как частный случай соотношение годное для покоящейся или равномерно вращающейся жидкости. А оно совпадает с вышеприведенным уравнением

Замечание. В качестве обобщения уравнений (2) и (3) мы получили уравнение (4). С помощью инвариантов, которые можно построить из компонент тензора, можно было бы обобщить (2) и (3) еще и иначе, так что вместо (4) получились бы другие уравнения, которые удовлетворяли бы всем до сих пор поставленным требованиям. Однако, невидимому, уравнения (4) являются единственным обобщением, которое не делает вычислений чересчур сложными. Насколько мы знаем, уравнения (4) дают достаточное объяснение всех до сих пор сделанных измерений (различные опыты с медленно движущимися шарами и пр.).