18. Теоремы Гельягольца о вихрях.

С помощью понятия и свойств циркуляции можно исследовать общие свойства вихревого движения, которое Гельмгольц получил другим путем.

Циркуляция по кривой, ограничивающей любой участок стенки вихревой трубки, равна нулю. Это легко доказать, преобразовав циркуляцию по теореме Стокса и заметив, что поток вихря через боковую поверхность вихревой трубки равен нулю, ибо вихрь перпендикулярен к этой поверхности. По теореме сохранения циркуляции она остается равной нулю все время. Следовательно, любая вихревая трубка все время остается вихревой трубкой. То же самое можно утверждать и о любой вихревой линии, так как вихревую линию можно рассматривать как пересечение двух вихревых трубок. Вихревая линия содержит, следовательно, все время одни и те же частицы; вихревое движение с в я - занос частицами жидкости.

Рассмотрим часть поверхности вихревой трубки, заключенную между двумя сечениями. Разрежем ее вдоль, как показано на рис. 24, и тем самым превратим ее в односвязную область. Циркуляция по контуру, ограничивающему полученную поверхность, тоже будет равна нулю. Так как линия продольного разреза проходится при интегрировании дважды, и притом в противоположные стороны, то отсюда следует, что циркуляция по контуру, ограничивающему любое поперечное сечение вихревой трубки, одинакова. Это значит, что поток вихря черев любое поперечное сечение вихревой трубки также остается постоянным вдоль трубки.

Для достаточно тонкой вихревой нити можно считать угловую скорость вихревого движения постоянной но всему сечению. Циркуляция вокруг каждого сечения вихревой нити, или момент вихря равен тогда по теореме Стокса [уравнение ]

где есть угловая скорость, а о площадь сечения. Для двух различных сечений нитн, вследствие постоянства циркуляции, мы имеем соотношение

Угловые скорости вращения в двух различных местах вихревой нити обратно пропорциональны площади сечений. Вихревая нить или замыкается сама на себя, или уходит обоими концами в бесконечность. Если жидкость замыкает ограниченную область, то вихревая нить может начинаться и кончаться на границе.

Наконец, из закона сохранения циркуляции вытекает закон постоянства (во времени) момента вихря вихревой трубки.

Следует отметить, что вместо циркуляции или момента вихря часто вводят интенсивность вихря, определяемую равенством:

Замечание. Из теоремы сохранения циркуляции и теорем Гельигольца о Еихрях следует, что возникновение вихрей в невязкой жидкости невозможно. Наблюдаемое в обычных жидкостях появление вихрей часто относят поэтому счет внутреннего трения жидкости. Было, однако, неоднократно показано, что и в вязкой жидкости вихрь не может возникнуть, если внешние силы, действующие внутри и на поверхности жидкости, консервативны.