7. Задачи с осевой симметрией.

Первое фундаментальное решение представляет собою пример так называемого решения с осевой симметрией. Рассмотрим несколько подробнее этот класс решений, так как он представляет собою интерес во многих практических задачах.

Мы будем называть решением с осевой симметрией такое решение уравнений теории упругости, в котором вектор смещения лежит в нлоскости, проходящей через некоторую фиксированную ось, в нашем примере, например, через ось Эту плоскость мы будем называть в дальнейшем меридиональной плоскостью. В

цилиндрических координатах вектор смещения будет лежать в плоскости Кроме того, этот вектор смещения не должен зависеть от координаты С формальной стороны решения с осевой симметрией имеют сходство с плоской задачей. Если выражать решение с осевой симметрией через потенциалы, то оказывается достаточным взять как скалярный, так и векторный потенциалы зависящими только от При этом векторный потенциал можно всегда выбирать таким образом, чтобы направление этого вектора в каждой точке было перпендикулярно к указанной плоскости.

Если вспомнить формулы для выражения расходимости и вихря в цилиндрических координатах, то решение с осевой симметрией будет выражаться формулами:

где через обозначены составляющие вектора смещения по оси и по оси а через численная величина векторного потенциала.

Уравнения для скалярного и векторного потенциалов принимают в цилиндрических координатах для случая свободных колебаний очень простую форму:

Задачи с осевой симметрией получаются очень просто из плоской задачи с помощью принципа наложения.

Для этого необходимо применить этот способ к решению плоской задачи, не зависящему явно от угла

Если решение некоторой плоской задачи характеризуется скалярным потенциалом то решение задачи о осевой симметрией будет иметь вид:

Если решение плоской задачи характеризуется векторным потенциалом направленным по оси то решение задачи с осевой симметрией будет представляться в виде:

Примеры такого рода задач приведены в специальной брошюре по данному вопросу (см. приложение в конце главы).