24. Прандтлевская теория несущего крыла.
Плоскую теорию подъемной силы всегда надлежит рассматривать как довольно грубое приближение. Даже для несущих крыльев, размах которых велик по сравнению с поперечными
размерами, отклонения подъемной силы, вычисленной по формуле Кутта-Жуковского, от измеряемой на опыте, довольно значительны, так что влиянием концов крыла пренебречь нельзя. Обобщению теории на пространственный случай препятствует та трудность, что в пространственном потенциальном потоке циркуляции вокруг ограниченного (односвявного) тела существовать не может.
Мы вынуждены поэтому принять в расчеу и фактически исходящие с обеих сторон заднего ребра крыла вихревые нити или вихревые полосы и положить полный их вихревой момент равным циркуляции вокруг крыла. Раз мы допустили образование вихрей или вихревых слоев, мы тем самым покинули область теории идеальной жидкости. Прандтлю удалось, однако, дополнить эту теорию добавлением некоторых вспомогательных представлений, так что ее можно рассматривать как предельный случай теории вязкой жидкости, соответствующий стремлению вязкости к нулю, без того, чтобы было необходимо принимать во внимание само трение. Важнейшим из этих вспомогательных представлений является, наряду с вышеупомянутым возникновением вихревых слоев в пограничном слое, представление о том, что обтекаемое тело, в данном случае несущее врыло, может быть заменено распределением вихревых линий внутри или на поверхности тела. Пространство, занимаемое телом, рассматривается при этом как часть самой жидкости, и обтекающий поток аналитически продолжается внутрь тела. Эта мысль родственна изложенному выше в 10, § 2 применению вихревых слоев для представления потенциальных потоков, но ее не следует смешивать с последним. Существенное различие заключается в том, что теперь, когда мы предполагаем, что с обеих сторон задйего ребра исходят вихревые линии, те вихревые линии, которые образуют само крыло, уже не будут замкнутыми, а служат для того, чтобы соединить попарно вихревые линии, исходящие с обеих сторон крыла; и создать тем самым необходимые условия для существования теоремы о постоянстве циркуляции.
Заменяющие тело вихревые линии отличаются от свободных, исходящих из тела вихревых линий тем, что первые остаются на определенном месте, так что они являются "связанными". И в то время как движение свободных вихрей в жидкости происходит без воздействия внешних сил, связанные вихри должны обладать свойствами, которые позволили бы им служить заменой твердого тела, а именно, свойством проявлять внешние силы, в частности, силы, заменяющие давление твердого тела на жидкость. Из уравнений Эйлера (27b), 8, § 1, получается при помощи уравнения Бернулли (32а), 12, § 1, следующее выражение для заменяющей силы, отнесенной к единице объема
Интегрируя по объему заполненного вихрями тела и изменяя знак этого выражения, мы получаем силу давления потока на несущую поверхность
Эта сила может быть в простейших случаях разложена на слагающую, перпендикулярную направлению скорости на беоконечности, - гидродинамическую подъемную силу — и на слагающую, направленную обратно этой скорости, — индуцированное сопротивление.
В формуле (54) можно лерко узнать обобщение теоремы Кутта-Жуковского на пространственный случай.
