6. Принцип Ферма.

Отметим еще некоторые геометрические свойства полученных решений.

Рассмотрим детальнее поверхности, являющиеся границами областей комплексности .

В пересечении с поверхностью поверхность конуса (45) дает окружность с центром в точке и радиусом (рис. 50).

Рис. 50.

Каждая точка этой окружности обладает тем свойством, что кратчайший путь от нее до точки с непременным условием по пути достичь границы , равен а кратчайшее время, за которое ложно проделать этот путь, двигаяеь со скоростью a, равно Точки, лежащие вне окружности, то есть не попавшие в область возмущения, вызванного отраженной продольной волной, будут таеть кратчайшее время больше, чем а для точек, попавших внутрь жружности, это время меньше Это положение называется обычно принципом Ферма. Принцип этот гласит, что возмущение достигает какой-нибудь точки в кратчайшее время, двигаясь все время со скоростью, равной скорости

распространения волн в данной среде. Так как отраженное возмущение идет из источника в течение времени обязательно отражаясь по пути от границы, то окружность (45) и должна быть так называемым передним фронтон волны.

Фронт поперечного возмущения, как легко проверить, также удовлетворяет лринципу Ферма.

Действительно, подсчитаем, каково кратчайшее время, в течение которого можно пройти из точки в точку обязательно заходя при этом на границу среды и двигаясь сначала со скоростью а, а затем со скоростью Очевидно, такой кратчайший путь состоит из прямолинейных отрезков от до некоторой точки на границе и от до Время пробега по этому пути равно:

Величину определим из условия минимальности. Мы получим:

Уравнение (59) дает нам как функцию от Если мы введем вместо новую функцию

то уравнения (58) и (59) могут быть выражены с помощью параметра В силу (59):

Исключая из (60) и (61) параметр получим уравнение для определения этой целью проще всего отметить, что

и

откуда

а

умножая уравнения (64) и (65) соответственно на и складывая, получим:

Далее, из (58) следует:

и, в силу (60), (61), (62) и (63), имеем

Уравнение (67) совпадает с (44). Левая часть (66) есть производная от (58) по 63. Условие (66) говорит о том, что линии, на которых кратчайшее время пробега равно как раз являются лилиями пересечения огибающей семейства плоскостей (67) с плоскостью,

Таким образом, принцип Ферма имеет место и для поперечной волны.