4. Формула Грнна-Вольтерра.
Переходя к решению общей задачи теории упругости для полупространства (в плоскрм случае), прежде всего выведем одну формулу, являющуюся обобщением формулы Грина для задач теории упругости и принадлежащую Вольтерра.
Рассмотрим какие-нибудь два решения уравнений упругости § 1 в случае плоской задачи. Пусть одно из решений имеет вектор смещения 
а другое 
Обозначим через 
составляющие тензора напряжений, соответствующие первому решению, а через 
эти же составляющие, соответствующие второму решению. Пусть комноненты массовых сил в первом решении будут 
а во втором 
Рассмотрим теперь некоторую область. В пространства 
ограниченную поверхностью 
имеющей непрерывно меняющуюся касательную плоскость или состоящей из конечного числа кусков, обладающих этим свойством Обозначим через 
интеграл, ввятый по поверхности 
где 
обозначает внутреннюю нормаль к 
Если мы заменим в этом интеграле составляющие тензора напряжений через их выражения (18) § 1, а затем преобразуем по формуле Гаусса поверхностный интеграл в объемный, 
после элементарных сокращений, получим:
Пользуясь теперь уравнениями (2) § 1, приходим к окончательному результату:
Формула 
представляет собой формулу Грнна-Вольтерра, на которой основано все дальнейшее изложение.
