2. Разветвляющиеся комплексные решения волнового уравнения.

Мы пришли, таким обравом, к совершенно естественной идее изучать многозначные или разветвляющиеся решения волнового уравнения.

С помощью развитой нами теории комплексных решений этого уравнения нетрудно построить большое число разветвляющихся решений волнового уравнения различного типа. Эти решения будут иметь вид:

где удовлетворяет уравнению:

причем мы считаем функцию многозначной функцией, и более того, считаен что эта функция имеет единственную точку разветвления Как было выяснено в § 2 настоящей главы, внутри конуса

уравнение (11) имеет два корня:

а во внешности этого конуса два корня:

Если мы подставим в формулу (10) для вместо С корень то, как мы знаем, началу координат в плоскости С, отвечает прямая . Поэтому любая многозначная функция определенная в круге единичного радиуса с точкой разветвления в начале координат, представляет собою разветвляющееся решение волнового уравнения внутри верхней части (12), причем ось есть ось разветвления. То же самое относится, очевидно, к любой многозначной функции с точкой разветвления в начале для нижней половины конуса (12), где

Что касается внешности конуса (12), то там мы, очевидно, будем иметь следующий простой результат. Всякая непрерывная функция на бесконечно-листной окружности единичного круга

которая при обходе по этой окружности переходит к новым значениям и суммируема, в смысле Лебега, по любой конечной дуге, является обобщенным разветвляющимся решением волнового уравнения. Легко вддеть, что характер разветвления во всех случаях совпадает с характером разветвления поверхности Если функция имеет алгебраическую точку разветвления и возвращается к исходному значению, если дать приращение тк, то в пространстве ось будет служить осью разветвления такого же типа. Аналогично, логарифмической точке разветвления отвечает логарифмическая.

Для того чтобы определить функцию и во всем пространстве, необходимо более детально разобрать возможности связывания внутренности конуса (12) с его внешностью. Как мы знаем из предыдущего, для выполнения необходимых нам условий нужно, чтобы функция была непрерывна при переходе через поверхность этого конуса.

Пусть функция в формуле (10) выбрана таким образом, что она определена в круге единичного радиуса с точкой разветвления в начале, а на контуре круга удовлетворяет условию, выясненному нами в конце прошлого параграфа, относительно ограниченности интегралов от ее абсолютных значений. Внутри (12), при мы получим вполне определенные значения для функции и, выбрав

Во внешности у нас при этом представляется всегда две возможности подставить в формулу или

Как выяснено в самом начале этой главы, этот выбор равносилен тому, что мы будем во внешности конуса считать и сохраняющим постоянное значение одной из двух систем полуплоскостей, изображенных на рис. 48 (§ 2).

В нижней половине конуса (12) при мы будем считать и функцией

переменной область значений которой совпадает с областью изненения для Однако, необходимо оговорить еще одно обстоятельство.

Форнула (13) определяет значение но не иожет, конечно, определить положение его на римановой поверхности. Легко видеть, что

Непосредственно из рисунка ножно убедиться, что если мы во внешности конуса определим и формулой то необходимость сохранить непрерывность и заставляет нас в нижней половине конуса определить и фориулой причем под необходимо понимать то значение, аргумент которого равен

Совершенно аналогично, из тех же соображений непрерывности, если мы определим и во внешности конуса (12) формулой мы должны будем в нижней половине этого конуса положить где имеет аргумент, равный

Чтобы унифицировать все различные случаи, мы введем комплексные неременные определенные фориулами:

При этом решения во всем пространстве будут представляться одной формулой:

Вещественные решения получаются, если мы возьмем от этих решений вещественную часть. Мы видели в § 2, что это равносильно прибавлению сопряженной функции от сопряженного аргунента.

Наиболее общий вид вещественного однородного разветвляющегося решения мы получим, очевидно, складывая два решения обоих типов.

Этот общий вид будет:

Не все разветвляющиеся решении, разобранные нами, отвечают физическим условияи задачи. Необходимо избежать того, чтобы ось разветвления служила еама источником дополнительных возмущении.

Нам нет возможности останавливаться сейчас на этом более подробно.

Мы укажем очень кратко, какие еще добавочные ограничения вытекают из существа задачи.

Рассмотрим сначала случай, когда функция ииеет алгебраическую точку разветвления, то есть принимает всего конечное число значений. Тогда и будет однозначной функцией на римановой поверхности состоящей из конечного числа листов. Как известно из теории функций комплексного переменного, мы можем при этом разложить в ряд по дробным степеням С:

где обозначает число значений функции Ряд (18) будет сходящимся во всем круге Сущность физических ограничений, которые необходимо принять во внимание, сводится к тому, что в разложении (18) нужно удержать только неотрицательные степени С. При этом решение (17) будет ограниченным на оси разветвления во все номенты времени.

В случае, если число листов бесконечно, то есть мы имеем дело с логарифмической поверхностью, это требование заменяется более слабым. При этом необходимо только, чтобы:

Стремление этого выражения к своему пределу должно быть равномерным при всевозможных путях стремления к бесконечности в полуплоскости

С точки зрения координат функция и будет во все моменты времени обладать свойством