10. Отражение фундаментальных решений.

Мы уже видели, что фундаментальные решения задачи теории упругости

для представляются как результат наложения волн, идущих в направлении отрицательных а для как результат наложения волн, идущих в направлении положительных

Подставим в эти решения всюду вместо аргументы Мы получим систему фундаментальных решений:

с центром в точке Очевидно, что эти решения для представляются наложением волн, идущих в направлении отрицательных а для наложением волн, идущих в направлении положительных

Если мы будем рассматривать полупространство со свободной границей, то очевидно, фундаментальные решения (88) будут удовлетворять граничным условиям только до тех пор, пока так как для таких моментов времени вблизи границы будет покой.

Одной из основных задач, возникающих при этом, будет задача так дополнить эти фундаментальные решения при чтобы удовлетворить граничным условиям. Эта задача, то есть задача отражения фундаментальных решений, совершенно аналогична рассмотренной нами ранее задаче об отражении фундаментальных решений для случая двух измерений.

Для решения ее мы воспользуемся представлением фундаментальных решений по способу наложения.

Как мы видели выше, для решение представляется в виде:

и

Рассмотрим отражение того двумерного решения, которое позволяет построить

Очевидно, при это решение удовлетворяет граничный условиям. На основании общей теории отражения, разобранной нами подробно в прошлых параграфах, мы можем утверждать, что для удовлетворения граничным условиям достаточно добавить волны типа:

где определяется уравнением: __

a — уравнением

Функции связаны с функциями формулами (48) § 3.

Сумма решений (89), (90) и (85), очевидно, будет удовлетворять граничным условиям.

Применим теперь наш принцип наложения к решениям (89) и (90). Мы получим при этом, очевидно, два новых решения уравнений упругости:

Как уже было отмечено ранее, сумма первого фундаментального решения и двух полученных нами решений (93) и (94) удовлетворяет граничным условиям.

Решения (93) и (94) удобно называть поэтому отраженными волнами для первого фундаментального решения. На основании общих свойств наложения комплексных решений, сформулированных нами выше, мы можем утверждать, что решения и обращаются в нуль во всем пространстве при

На основании свойства I, полученные нами отраженные решения будут правильными разрывными решениями во всем пространстве.

Нетрудно проверить, то все условия, требуемые свойством II для этих решений, также выполнены.

Поэтому мы можем заключить, что области, в которых отраженные волны дают смещения, отличные от нуля, получаются просто вращением тех областей, которые изображены на рис. 50 (стр. 521).

В пространстве трех измерений при фиксированном эти области имеют вид, изображенный на рис. 55.

В этой задаче так же, как и для двухмерного случая, можно легко проверить справедливость принципа Ферма.

Аналогично отражению первого фундаментального решения можно получить и отражение всех остальных. Мы приведем здесь очень кратко полученные результаты.

Очевидно, что второе, третье и четвертое фундаментальные решения при представляются в виде (71), (74) и (77), где вместо необходимо подставить переменную , определяемую уравнением:

Рис. 55.

Второе фундаментальное решение есть, таким образом, результат наложения решений вида (70), в которых вместо поставлено определяемое формулой:

Обозначим отраженное решение для через . Тогда, как легко проверить, мы будем иметь для него формулы:

где

Точно так же третье фундаментальное решение есть результат наложения решений (72) и (73), в которых вместо всюду поставлено

Отраженные волны будут, как нетрудно убедитьоя, получаться путем нало жения трех различных двухмерных решений. Обозначив три различных отраженны: волны через мы получим для них формулы:

(см. скан)

где определяются уравнениями (96) и

Функции определяются с помощью соотношений (86) § 3, Функция очевидно, просто совпадает с функцией определявшей падающую волну. Аналогично получается и отражение четвертого фундаментального решения.

Отраженные волны для него получаются в виде:

(см. скан)

Функции получаются с помощью тех же формул (86) § 3, а функция

Области в пространстве х, у, z, для которых отраженные решения при фиксированном отличны от нуля, получаются путем вращения соответствующих областей двухмерной задачи.