10. Общие формулы комплексной теории отражения.

Разобранные нами четыре задачи об отражении и о поверхностных волнах» несмотря на кажущееся формальное несходство в их решении, могут быть объединены в двух простых формулах. Чтобы получить эти формулы в наиболее простом виде, положим в формуле (51) для задачи об отражении продольной волны:

В качестве окончательного решения этой задачи мы получим следующие формулы для продольного и поперечного потенциалов:

Точно также, положив в формуле (59) для задачи об отражении поперечной волны при

можем написать окончательный ответ в форме:

Формулы (77) и (79), очевидно, при всяких комплексных значениях дают решение задачи о колебаниях полупространства, удовлетворяющее граничным условиям, если только функции определены в соответствующих комплексных областях.

Легко убедиться, что в них содержатся все рассмотренные нами задачи. Рассмотрим все решения, даваемые этими формулами. Прежде всего, очевидно, что коэффициент должен быть вещественным. Действительно, если предположить, что он комплексный, то, давая различные вещественные значения, можно получить для аргумента или любое комплексное число. Если потенциалы иди предположить ограниченными для рассматриваемых нами значений то, по известной теореме Лиувилля, функции должны быть постоянными. Таким образом для комплексных 0, в нашем предположении, могут существовать лишь тривиальные решения. Формулы (77) и (79) для вещественных значений при очевидно, дают простейшие решения, рассмотренные нами.

Для значений из промежутка формула (77) не дает никаких решений, кроме тривиальных. Действительно, так как радикал при этих условиях чисто мнимый, то при положительных у одно из слагаемых в выражении будет лежать в верхней полуплоскости, а другое в нижней. Следовательно, опять как и при комплексных , функцию придется считать ограниченной во всей плоскости и, следовательно, сводящейся к постоянной. Наоборот, формула (79) может иметь смысл при этих значениях.

Если радикал считать положительно мнимым, то аргумент функции в выражении для внутри полупространства попадает в нижнюю полуплоскость.

Предполагая функцию ограниченной в этой полуплоскости, мы получим решение задачи об отражении для случая полного внутреннего отражения, когда угол падения больше предельного. Формула (79) для этого случая вполне эквивалентна Давая отрицательно мнимое значение радикалу и предполагая функцию ограниченной в верхней полуплоскости, мы получим формулы (60), (61) и (62).

Формулы (77) и (79) позволяют легко получить и волны Рэлея.

При вещественных значениях вообще говоря, мы должны на основании прежних соображений считать функции равными постоянным.

Однако, при значении коэффициент при первом слагаемом в формулах (77) для и (79) для обращается в нуль, если выбрать одного знака мнимости. При этом значения аргумента функции или в обеих формулах будут лежать лишь в одной полуплоскости.

Легко проверить непосредственно, что результаты совпадут при этом с формулами (73) или (73).