§ 2. Возмущенное движение Кеплера
1. Случай центральной возмущающей силы.
Если мы предположим, что кроме ньютоновой силы § 1,(1) действует еще возмущающая сила, потенциал которой 
есть заданная функция от 
то мы получим возмущающую функцию 
вводя в 
канонические переменные § 1, (25), соответствующие невозмущенной системе, движению Кеплера. Если мы разложим 
в точке а по степеням 
и ограничимся только членами первой степени, то из § 1, (39) получится:
где для а везде нужно вставить его значение, выраженное через 
по § 1, (38). Уравнение (1) соответствует общей формуле гл. V, § 1,(34). Для вековой части В возмущающей функции 
к которой относятся все члены, не содержащие 
из (1) следует:
В таком случае из теории гл. V, 3 следует, что 
не может испытывать никаких вековых возмущений. Дифференциальные уравнения для вековых возмущений величин 
их, согласно гл. V, § 1, (41), имеют в нашем случае по (2) вид:
Так как, еогласно § 1, (38) заданием 
определяются также величины 
то при возмущении центральной силой эллипс Кеплера сохраняет в среднем за период свою величину и форму. Он испытывает только как целое медленные вековые изменения положения. Действительно, из первого уравнения (3) следует:
Так как, согласно § 1, (25), 
то линия апсид эллипса Кеплера (направление на перигелий) испытывает медленные вращения с угловой скоростью о, движение перигелия. При этбм 
остаются постоянными, так как они совсем не входят в В. Так как центральная сила ни в коем случае не может вывести массу 
из плоскости эллипса Кеплера, то элементы орбиты 
определенные величинами 
не могут изменяться. Легко видеть, что а только в том случае может совсем (т. е. для всех значений а) исчезнуть, когда 
есть потенциал ньютоновой силы, т. е. 
Чтобы вычислить "выражение энергии" в смысле гл. V, § 3, (20), мы должны принять в расчет, что вместо 
нужно вставить выражение энергии
Вместо В нужно вставить 
из (2), которое уже без дальнейших преобразований зависит только от переменных действия 
Таким образом, мы получаем:
