2. Запаздывающие потенциалы и приближение Льенарда-Вихерта.

Для дальнейшего исследования выражения (3) для потенциала мы можем выполнить сперва либо интегрирование по либо интегрирование по Пойдем сначала по первому пути.

Разыщем те точки, где знаменатель обращается в пуль. Напишем

где обозначает трехмерное расстояние точки от точки для которой нужно вычислить потенциал (при этом мы напоминаем, что мы взяли

Существуют две точки, для которых именно:

Первую мы назовем L ("Lichtpunkt"), вторую Для мы имеем

В окрестностях по (6) и будет

Интеграл по петле на рис. 86 мы можем, по теореме Коши, превратить в интеграл по замкнутому контуру вокруг и подставить для его значение (7);

Справа нужно взять для значения в точке т. е. для Интеграл равен (ср. направление обхода на рис. 86) , следовательно, интеграл слева равен Уравнение (3) переходит в

Отсюда вытекают для мнимой составляющей и для вещественных составляющих А вектора выражения

В предыдущих формулах называются "запаздывающими потенциалами", по следующим причинам. Чтобы вычислить действие в точке наблюдения О для времени нужно суммировать не по одновременным положениям и скоростям элементов заряда, а рассматривать те более ранние моменты времени, в которых действие должно было бы выйти из О, чтобы достичь точки О в момент

Необходимое для этого время называется временем запаздывания (Latens-zeit). Если бы мы, например, имели дело с движущимся зарядом, распределенным но шару, то интегрирование в (8) и (8а) надо было бы распространить не по шару, а по другой поверхности, которая была бы более или менее деформирована, в зависимости от положения точки, для которой вычисляется потенциал, и от движения шара.

Перейдем теперь к другому споообу, в котором сначала выполняется интегрирование по При этом мы должны, конечно, принять, что точка наблюдения О лежит так далеко от заряда, что заряд можно рассматривать как точку, т. е. как "электрон". В соответствии со смыслом положим, обозначив через заряд электрона,

Здесь В обозначает производную по от радиус-вектора

т. е.

Уравнение (3) переходит в

Путь интегрирования — петлю на рис. 86 — можно опять деформировать в вамкнутый контур вокруг

В окрестностях величина задается уравнением (7). Но в противоположность тому, что мы делали в (7а), мы должны теперь рассматривать функции от Поэтому вычисляем

где задается выражением (9а). После этого (10) дает:

и так как значение интеграла опять равно мы имеем

В будет ; следовательно, на основании (9а), мы имеем

Здесь есть составляющая по направлению электрон точка наблюдения.

Если мы в (12) перейдём к мнимой части и вещественной А, мы получим формулы Льенарда и Вихерта:

Значения нужно брать, как это следует из нашего вывода, в точке т. е. не для времени для которого вычисляются потенциалы, а для более раннего момента Множитель напоминает эффект Допплера

Если бы мы захотели получить формулы (12а) из (8а) посредством перехода к точечному заряду, мы должны были бы учесть названную выше деформацию и получили бы тогда, например, при интегрировании по не Однако, это было бы гораздо сложнее изложенного сейчас способа и потребовало бы специальных геометрических рассуждений, тогда как здесь, мы могли опираться на хорошо известную теорию вычетов Еоши. В заключение рассмотрим совсем коротко: