§ 3. Некоторые введения, касающиеся задачи трех тел

1. Задача двух тел.

Рассмотрим две материальные точки с массами Обозначим их прямоугольные координаты в инерциальной системе через Бели мы обозначим их расстояние через

и предположим, что они притягиваются друг к другу по закону тяготения Ньютона, то гамильтопова функция будет иметь вид:

Это выражение посредством касательного преобразования легко привести к виду гамильтоновой функции для движения Кеплера (притяжение массы неподвижным центром). Введем в качестве новых координат относительные координаты второй массы по отношению к первой и координаты центра инерции:

Из условия получаются уравнения преобразования для :

Вставляя (2), (3) в (1), мы получим:

Теперь будут скрытыми координатами в смысле гл. III, § 1, 1. Если мы напишем канонические уравнения движения, то из них будет вытекать постоянство т. е. количества движения всей системы,

координаты центра тяжести, окажутся линейными функциями времени. В уравнениях движения со значками 1, 2, 3 величины вообще не входят; следовательно, при составлении этих уравнений из гамильтоновой функции (4) мы вообще можем отбросить второй член: при этом она получит вид:

Но это есть гамильтонова функция движения Кеплера, причем неподвижная в пространстве притягивающая масса есть , а движущаяся .