6. Угловые переменные и переменные действия.
Можно вместо 
ввести другие канонические переменные, по отношению к которым координаты положения обладают более простыми свойствами периодичности, чем те, которые
определяются уравнениями (34). Введен новые канонические переменные 
и сопряженные им 
причем:
где интеграл опять берется по всем значениям 
в прямом и обратном направлении между обеими границами. Если теперь мы решим (36) относительно 
и подставим в функцию 
в (3), то она останется полным интегралом дифференциального уравнения в частных производных Гамильтона-Якоби § 4 (36), в которое только вместо 
постоянных 
введены новые постоянные 
Следовательно, если мы положим:
то, в силу § 4 (36):
Уравнения, аналогичные (29), § 4
определяют тогда переход от 
к каноническим "соответствующим" переменным 
Легко показать, что преобразование, определяемое уравнениями (37), (39), тождественно с тем, которое определяется уравнениями (35), (36) совместно с § 4, (36а).
Для этого необходимо только показать, что 
(36) вытекает второй ряд уравнений (39), так как первый ряд сразу получается 
уравнения (37) и § 4, (36а). Действительно, из (37) следует:
В силу § 4, (29), (35) мы сразу получим, подставляя значение 
из (35) и используя соотношение 
вытекающее из 
и (36) (если принять во внимание, что 
что 
что и требовалось доказать.
Следовательно, уравнения движения механики сохраняют и в переменных 
каноническую форму, и на основании (37) движение может быть аналогично § 4, (33) представлено также уравнениями:
где 
произвольные постоянные. Чтобы вывести отсюда что-либо о действительном движении, нам опять нужно исследовать, каким образом координаты положения 
зависят от 
следует:
т. е. если каждое 
изменяется на целое кратное 
то 
меняются как раз на такие величины, которые согласно (34) не влекут за собой никаких изменений 
Следовательно, если мы при помощи (35) вычислим 
как функции 
то, полагая 
мы получим:
где 
произвольные целые числа.
Следовательно, координаты положения представляют собой периодические функции 
с периодом 
Поэтому величины называются угловыми переменными; действительно, они имеют с обычной угловой координатой, как, например, полярный угол 9 в обыкновенных полярных координатах, то общее, что изменение на 
приводит к тому же самому положению системы. Однако в общем случае угловые переменные не являются координатами положения, так как они не являются функциями только от Переменные 
канонически сопряженные угловым переменным, называют переменными действия. Выражение энергии системы как функции от переменных действия мы будем называть для краткости иросто "выражением энергии".
