4. Другие формы решения.

Заметим сначала, что интегральное выражение (11) можно рассматривать как пучок плоских волнх), впрочем отчасти с комплексными направляющими косинусами. Это как раз соответствует тому, что формула (11) выводится из интеграла Фурье (8), подинтегральная функция которого имеет вид плоской волны. Вывод остается в силе также и в том случае, если мы добавим множитель, зависящий от В самом деле, напишем в (11):

и возьмем для интегральное выражение с переменной интегрирования мы получим:

Вместо этого мы можем написать:

Подинтегральная функция здесь имеет вид плоской волны с (вообще комплексным) направлением .

Теперь можно было бы, как в оптике, заставить каждую из этих волн отражаться и преломляться на поверхности раздела О, и получить полное решение нашей задачи, т. е. формулы (15). Величина соответствует здесь формулам Френеля для отраженной и преломленной амплитуд.

Для последующего гораздо существеннее преобразование нашего интеграла с нижним пределом в интеграл, распространенный от до Согласно уравнению (4) стр. 866, положим:

и разложим (15) на два интеграла I и II, оба взятые от 0 до один с другой Например, при будет

По соотношениям обхода стр. 868

Введем в интеграле II вместо X переменную интегрирования тогда, ввиду того что зависит только от мы можем написать:

Этот интеграл, после перестановки пределов интегрирования, складывается с интегралом I в один интеграл с функцией взятый вдоль вещественной оси от до

Мы получим, таким образом, новый вид решения нашей задачи:

Здесь и далее опущены значки 0 и 1 при Совершенно таким же образом можно представить первичное возбуждение или пропорциональные ему величины (11) с помощью следующих формул: