19. Стационарное вихревое движение.

Течение жидкости, частицы которой совершают вихревое движение, вообще говоря, нестационарно. Для нахождения условий стационарности вихревого движения мы будем исходить из уравнений Эйлера форме для случая консервативных объемных сил

и положим

Обозначим полную энергию единицы массы через

Тогда уравнения Эйлера принимают вид

В частном случае безвихревого движения это уравнение выражало одинаковость энергии единицы массы во всем поле и давало тем самым условие существования не зависящего от времени потенциала скоростей (12). В общем случае вихревого движения смысл его заключается в следующем. Оно показывает, что в стационарном движении должно существовать семейство поверхностей на каждой из которых расположена система линий тока и система вихревых линий. Это будет, очевидно, иметь место в том случае, когда линии тока совпадают с траекториями частиц (рис. 25).

Обозначая через угол между линией тока и вихревой линией, получаем из уравнения (55) скалярное уравнение

Здесь есть величина градиента направленного по нормали к поверхностям Величина есть скорость, с которой вихревая линия передвигается в плоскости перпендикулярно самой себе. Если есть расстояние между двумя соседними поверхностями , то

есть поперечное сечение такой вихревой нити (расположенной между этими двумя поверхностями), которая за единицу времени передвигается на расстояние, равное своей ширине. Тогда из (55) мы получаем

если мы еще введем циркуляцию которая, по теоремам Гельмгольца, постоянна для данной вихревой нити в пространстве и во времени.

Рис. 26.

Если мы проведем поверхности так, чтобы разность параметра была одинакова для каждой пары соседних поверхностей, то все пространство можно будет разделить указанным способом на вихревые нити, обладающие одинаковым моментом вихря. За единицу времени каждая такая вихревая нить передвигается на место предыдущей.

В случае плоского движения несжимаемой жидкости, из уравнения (56) получается, если принять во внимание уравнение неразрывности, что компонента вихря С постоянна вдоль каждой линии тока. Уравнение (55) приводит, если слегка изменить обозначения, к следующему параметрическому представлению стационарного вихревого движения [см. уравнение (6), 3]

Величина получается равной

С другой стороны, величина С есть функция от так кал она меняется при переходе от одной линии тока к другой:

Таким образом, должно удовлетворять дифференциальному уравнению

Величина есть функция тока для плоского движения. В случае потенциального движения удовлетворяет уравнению Лапласа.