2. Дифференциальные уравнения продольного движения.

Если мы направим ось по оси пропеллера, то мы можем следующим образом математически формулировать сделанные предположения: величины а также равны нулю. Далее

являются малыми величинами, квадратами которых можно пренебречь. При этом следовательно в желательном приближении Также все углы должны быть настолько малы, что с желаемой точностью можно положить В таком случае составные части самолета можно считать цилиндрическими поверхностями с образующей, направленной по линии их пересечения с плоскостью определяют дуги кривых линий, - "профили", - "хорды" которых наклонены к направлению полета под углами если мы обозначим постоянные углы этих хорд с осью пропеллера через то где а — угол между осью пропеллера и направлением полета — называется "углом атаки самолета" (рис. 6). При этом

так что из (1), (3) следует с указанной точностью:

Рис. 6.

С той же точностью для величин вытекают соотношения вида:

и аналогичные формулы для Шесть выражений (2) сводятся к трем. Если не писать аргумента то, в силу (3), (5), они имеют вид:

Уравнения движения § 1 (25), (22), § 3, (5) сводятся к следующим:

Чтобы ближе подойти к соотношениям, имеющих место в настоящем самолете, рассмотрим схему самолета, имеющего только две составные части, на которые действуют сопротивления вовдуха: несущую поверхность

и демпфирующую поверхность Первая находится недалеко от центра инерции (следовательно, ), вторая на расотоянии I повади него Что касается сопротивлений вовдуха и точек их приложения для случая движения в направлении оси пропеллера при то точка приложения должна лежать на несущей поверхности в центре тяжести на демпфирующую поверхность при этом вообще не будут действовать никакие воздушные силы В таком случае следует:

Преобразуем теперь уравнения движения таким образом, чтобы они позволили непосредственно вычислить координаты самолета в неподвижной системе. Из этих шести координат при движении плоскости в вертикальной плоскости меняются только три, а именно Остальные остаются постоянными, причем и [согласно § 1, (21)] следовательно и согласно § 1, (7), Этим уже удовлетворены три последние уравнения в § 4, (8), и мы получим три уравнения движения, вводя в уравнения (8), (9), (10) составляющие сил вдоль неподвижных осей посредством поворота координатных осей. Мы выбираем для этого не оси х и 2, а направление скорости и и направление, перпендикулярное к ней, получающееся (см. рис. 6) из таким же вращением, как из этой фигуры мы видим, что составляющая силы, касательная к траектории центра тяжести, равна а перпендикулярная к ней Вычислим теперь эти выражения из (9), а соответствующие левые части Мы имеем:

Так как

то

Предположим, что все силы, зависящие от давления воздуха, пропорциональны его плотности удельный вес воздуха) и площади характеризующей соответствующую составную часть самолета. Далее введем еще следующие обозначения:

Если еще принять во внимание, что с требуемой точностью то иввестным уже способом получаем

Члены, пропорциональные , называются обычно соответственно "лобовым сопротивлением и "поддерживающей силой" называется коэффициентом сопротивления, коэффициентом поддерживающей силы несущей поверхности, имеют то же значение для демпфирующей поверхности.

Если желательно выравить (10) в тех же неременных, то нужно принять во внимание, что есть момент силы о точкой приложения относительно центра тяжести. Так как абсолютная величина силы равна ее момент может быть написан в форме где плечо силы и приписывается положительный знак, в том случае, когда вращение этого плеча (считая направление центра тяжести) в направлении вектора силы совпадает с направлением вращения оси к оси Тогда третьего уравнения (8) и (10) следует при наших новых обозначениях (если положить

Уравнения (11), (12) представляют три совокупных дифференциальных уравнения относительно переменных и, а, 8. Уравнения (11), определяющие движение центра тяжести, вообще говоря, не могут быть проинтегрированы независимо от уравнения (12), определяющего вращение около центра тяжести.

Согласно с предположением, сделанным при их выводе, уравнения (11), (12) представляют все движения симметричного самолета в вертикальной плоскости, которые не очень сильно отличаются от поступательного движения в направлении оси пропеллера.