3. Невозмущенная система вырождена.

Рассмотрим, как и в § 1, 3, систему, в точности -кратно периодическую, и введем, как и там, собственные и несобственные угловые переменные. В таком случае гамильтопова функция имеет, согласно § 1, (29), в канонических переменных, соответствующих певозмущепнон системе, вид:

Найдем теперь новые канонические переменные соответствующие возмущенному движению, принимая сначала во внимание только вековую часть В функции возмущения. Следовательно, мы ищем, как это требуется и для интегрирования дифференциальных уравнений § 1, (35), такое касательное преобразование, после которого величины уже не входят в (преобразованное В). Но для того, чтобы одновременно с этим величины не появились

в мы примем для характеристической функции искомого преобразоваипя вид:

таком случае преобразование будет аналогично (1), если заменить там через

Если преобразование имеет желательный вид, то, подставляя в (13), мы получим:

Так как величины остаются постоянными при невозмущенном движении, то величины отличаются, согласно (15), от только на аддитивные постоянные и, следовательно, представляют собой также угловые пероменпые. Следовательно, опять периодично относительно с периодом . Чтобы теперь удалить из также и Ворн и Паули еще раз применяют к выражению (16) метод 1, 2, причем заменяется теперь на и преобразование относится только к собственным угловым переменным и соответствующим тогда как остаются вообще неизменными. Следовательно, ищется функция из которой получается такое преобразование величин

что при подстановке выражения для в Н [уравнения (16)] совсем выпадают. Если мы напишем в форме (2), то должно опять разлагаться в ряд где не входят в Сравнивая коэффициенты, мы получим, совершенно аналогично (5) и (6),

Если мы вычислим для всех среднее значение за период то оно обращается в нуль вследствие периодичности производных от и функции для этих членов, и мы получим, так как не зависит от что дает для в первом приближении:

К выражению энергии невозмущенного движения прибавляется выражение энергии, получающееся из дифференциальных уравнений вековых возмущений § 1, (35). Действительно, эти уравнения сами образуют каноническую систему уравнений с энергией В, из (20) стоит выражение этой энергии в соответствующих переменных действия Этим первым приближением мы здесь и ограничимся.