§ 3. Выражение энергии для возмущенных систем

1. Соответствующие канонические переменные.

Применявшиеся до сих пор угловые переменные и переменные действия "соответствовали невозмущенной системе" в том смысле, что ее гамильтонова функция выражалась только через величины Вместо того чтобы интегрировать дифференциальные уравпепия § 1, (16) с помощью приближенного метода, изложенного в § 1, можно было также с помощью касательного преобразования перейти от новым каноническим переменным соответствующим возмущенной системе, в которых, следовательно, становится функцией одних только Вследствие малости X искомое преобразование не может сильно отличаться от тождества, и мы попытаемся найти его опять с помощью приближенного метода. Согласно гл. II, § 4, (29), каноническое преобразование (если мы теперь вместо введем определяется характеристической функцией и имеет вид:

Предположим, что имеет форму:

которая при переходит, в силу (1), в тождество Так как мы требуем, чтобы величины также были угловыми переменными, то они должны отличаться от только на члепы, периодические относительно с периодом .

Так как из (1) и (2) следует:

то величины должны быть периодичны относительно с периодом Для того чтобы соответствовали возмущенной системе, необходимо, чтобы после подстановки выражений (1), (2) для [где определяется § 1, (15)] все выпадали, следовательно должно быть функцией одних только Следовательно, если представить энергию в форме то должно иметь место следующее тождество:

где вместо всех аргументов выписан только один с индексом являются функциями только от Если разложить но степеням X и сравнить коэффициенты при в обеих частях, то мы получим:

При этом означает, что в выражении, стоящем в скобках, необходимо положить Но (6) представляет линейное дифференциальное уравнение первого порядка в частных производных относительно как функции величин Если мы вычислим из него и вставим в (7), то уравнение (7) станет дифференциальным уравнением того же типа для так что все разложение (2) может быть вычислено последовательным решением линейных дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных с постояпными коэффициентами. Но в таком случае (1) дает канонические переменные, соответствующие возмущенному движению, и вместе с тем общие решения уравнений движения, так как величин остаются постоянными, Линейно меняютсясо временем. Этот метод интегрирования сам по себе не проще, чем изложенный в § 1. Но он имеет большое преимущество, если нам не нужно знать само возмущенное движение, а нужна только его энергия, как функция соответствующих переменных действия следовательно ряд